Bestimme die Schnittgerade der Ebene E1 und E2

Question

Aufgabe: Bestimme die Schnittgerade der Ebene E1 und E2.

E1: x = (1,0,3)+r(1,0,0)+s(1,1,0)

E2: x= (2,3,2)+r(0,1,1)+s(2,0,1)

Keine Ahnung wie man Vektoren hier abbilden kann.

Hilfe wäre gerne!

Comments

wie man Vektoren hier abbilden kann.

Mit $\LaTeX$:

\( \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \)

ergibt

$\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Answer 1

Gleichsetzen. Dabei musst du die Parmeter gegebenenfalls umbennen, damit die Parameter der einen Geraden verschieden von denen der anderen Gerade sind.

Gleichung lösen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Kannst du mir das vielleicht bitte einmal mit Lösungsweg vor rechnen. Dann könnte ich an dem Musterbeispiel meine weiteren Aufgaben lösen.

Das wäre wirklich super lieb. Ich stehe leider total auf dem Schlauch....

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Am einfachsten bestimmst du die Schnittgerade zwischen zwei Ebenen, indem du eine Ebenengleichung in der Koordinatenform angibst. Diese kann man bei der Ebene$$E_1\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$direkt ablesen. Offensichtlich ist $x_3=3$, während $x_1$ und $x_2$ alle beliebigen Werte annehmen können. Die Ebene verläuft also parallel zur $x_1x_2$-Ebene und es gilt:$$E_1\colon x_3=3$$

Da die Schnittgerade mit von $E_1$ und $E_2$ in beiden Ebenen verläuft, muss die $x_3$-Koordinate von $E_2$ ebenfalls $x_3=3$ sein:

$$E_2\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\3\end{pmatrix}$$Aus der Gleichung für die $x_3$-Koordinate folgt:$$2+r+s=3\implies r+s=1\implies s=1-r$$

Damit haben wir schon die Schnittgerade:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+(1-r)\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}-r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$$