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Am einfachsten bestimmst du die Schnittgerade zwischen zwei Ebenen, indem du eine Ebenengleichung in der Koordinatenform angibst. Diese kann man bei der Ebene$$E_1\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$direkt ablesen. Offensichtlich ist \(x_3=3\), während \(x_1\) und \(x_2\) alle beliebigen Werte annehmen können. Die Ebene verläuft also parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene und es gilt:$$E_1\colon x_3=3$$
Da die Schnittgerade mit von \(E_1\) und \(E_2\) in beiden Ebenen verläuft, muss die \(x_3\)-Koordinate von \(E_2\) ebenfalls \(x_3=3\) sein:
$$E_2\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\3\end{pmatrix}$$Aus der Gleichung für die \(x_3\)-Koordinate folgt:$$2+r+s=3\implies r+s=1\implies s=1-r$$
Damit haben wir schon die Schnittgerade:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+(1-r)\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}-r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$$
