Beweisen Sie die Identität

Question

Aufgabe:

Es seien \( f, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) zweifach stetig differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie die Identität
\( \int \limits_{V}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) \mathrm{d} V=\int \limits_{\partial V}(f \nabla g-g \nabla f) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \)

Problem/Ansatz:

Hat jemand eventuell einen Ansatz für dir Aufgabe?

Comments

Hattet ihr den Integralsatz von Gauss, dann wende ihn an sonst sieh darunter nach

---

Eine ähnliche Frage hast du schon mal gestellt:

https://www.mathelounge.de/932855/relation-zwischen-zweifach-differentierbare-funktionen

Vielleicht hilft dir das auch hier weiter?

Answer 1

Aloha :)

Mit dem Gauß'schen Satz \((d\vec S=dV\vec\nabla)\) steht die Behauptung nach Anwendung der Produktregel sofort da:$$\phantom{=}\oint\limits_{\partial V}(f\vec\nabla g-g\vec\nabla f)\,d\vec S=\oint\limits_{\partial V}d\vec S\,(f\vec\nabla g-g\vec\nabla f)=\int\limits_{V}dV\,\vec\nabla(f\vec\nabla g-g\vec\nabla f)$$$$=\int\limits_{V}dV(\vec\nabla f\vec\nabla g+f\vec\nabla^2g-\vec\nabla g\vec\nabla f-g\vec\nabla^2f)=\int\limits_{V}(f\vec\nabla^2g-g\vec\nabla^2f)dV$$