Beweisen Sie die Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung der Bernoulli-
schen Ungleichung: Sind fur i ∈ {1, . . . , n} reelle Zahlen xi ≥ 0 gegeben, so ist

n                      n

∏(1 + xi) ≥ 1 +∑xi
i=1                  i=1

Problem/Ansatz:

Ich würde es mittels vollständiger Induktion versuchen, bin aber noch nicht so fest darin, das ich weiß wie ich vorgehe wenn ich produkt und summenzeichen in einer Gleichung habe.

Wenn mir das jmd. freundlicherweise herleiten könnte, mit einer erklärung, wäre das toll.

Answer 1

Aloha :)

Die Behauptung lautet:$$A(n)=\prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)\ge1+\sum\limits_{i=1}^nx_i\quad;\quad x_i\ge0$$

Verankerung bei \(n=1\):$$A(n)=A(1)=\prod\limits_{i=1}^1(1+x_i)=1+x_i\ge1+\sum\limits_{i=1}^1x_i=1+\sum\limits_{i=1}^nx_i\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$A(n+1)=\prod\limits_{i=1}^{n+1}(1+x_i)=(1+x_{n+1})\cdot\prod\limits_{i=1}^{n}(1+x_i)\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{\ge}\underbrace{(1+x_{n+1})}_{\ge1}\cdot\left(1+\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)$$$$\phantom{A(n+1)}=1+x_{n+1}+\sum\limits_{i=1}^nx_i+\underbrace{x_{n+1}\sum\limits_{i=1}^nx_i}_{\ge0}\ge1+x_{n+1}+\sum\limits_{i=1}^nx_i=1+\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i\quad\checkmark$$Bei den beiden unterklammerten Summen wurde berücksichtigt, dass nach Voraussetzung alle \(x_i\ge0\) sind.