Partielle Integration. Meine Lösungen sind nicht mit den Lösungen gleich

Question

Aufgabe:

(a) \( \int \sin x \cos x d x \)

(b) \( \int x^{2} \sin x d x \)

Problem/Ansatz:

Meine Lösungen sind nicht mit den Lösungen gleich

Answer 1

Bei b macht sich s ganz gut:

\( \int\) f ' g =  f g - \( \int\) f g '

Dein g ist x^2, f' ist sin x

Bei a) sieht es ähnlich aus, nur dass du dann rauskriegst, dass die beiden Integrale gleich sind, also kannst du bisschen Umformen und dann joa

Answer 2

Aloha :)

Ich lasse im Folgenden die Integrationskonstanten weg...

zu a) Hier reicht eine partielle Integration:$$\int\underbrace{\sin x}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v'}\,dx=\underbrace{\sin x}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}- \int\underbrace{\cos x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}\,dx$$Links und rechts vom \(=\) steht dasselbe Integral, daher ist:$$2\int\sin x\cdot\cos x\,dx=\sin^2x\quad\implies\quad\int\sin x\cdot \cos x=\frac12\sin^2x$$

zu b) Hier musst du 2-mal partiell integrieren. Das erste Mal sieht so aus:$$\int \underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v'}\,dx=\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{(-\cos x)}_{=v}-\int \underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{(-\cos x)}_{=v}\,dx$$$$\int x^2\cdot\sin x\,dx=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx$$Und das zweite Mal dann so:$$\int \underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v'}\,dx=\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}-\int \underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}\,dx=2x\sin x+2\cos x$$Wir setzen beide partiellen Integrale zusammen:$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x=(2-x^2)\cos x+2x\sin x$$

Answer 3

Zu a)

∫xdx=x²/2

=t²/2 das dann Re-substituieren t= sin(x)

sin(x)²/2 dazu dann Integrationskonstante C∈ℝ

Lösung sin(x)^2/2 +c, c∈ ℝ