Hallo,
sup(A) ist ja die kleinste obere Schrank für die Menge A, also auf jeden Fall auch eine obere Schranke. Damit gilt
$$\forall a \in A: \;\forall b \in B: \quad a+b \leq \sup(A)+\sup(B)$$
D.h. die rechts Seite ist eine obere Schranke für A+B, also
$$\sup(A+B) \leq \sup(A)+\sup(B)$$
Um hier die Gleichheit zu zeigen, betrachten wir ein \(e>0\). Da \(\sup(A)-e\) keine obere Schranke von A ist, existiert ein \(a_0 \in A\) mit \(\sup(A)-e <a_0\). Analog ein \(b_0 \in B\). Dann gilt:
$$a_0+b_0>\sup(A)+\sup(B)-2e$$
Also ist die rechte Seite keine obere Schranke für A+B. Da e beliebig war, folgt die Behauptung.
Gruß Mathhilf
