Wie bestimmt man exp(A) einer Matrix A?

Question

Aufgabe:

Wie bestimmt man exp(A) einer matrix A?

Comments

Kommt auch ein bisschen auf A drauf an.

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Es handelt sich um ein mathematisches Standardthema. Was hindert Dich, in Dein Lehrmaterial oder ins WEB zu schauen?

Answer 1

Hallo

indem man die Reihe für e^x auf A anwendet.

lul

Comments

Und wie mache ich das?

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1+A+\( \frac{A^2}{2} \) +\( \frac{A^3}{6} \)+\( \frac{A^4}{24} \cdots\)

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Sollte der erste Summand nicht eher die Einheitsmatrix sein?

Answer 2

Einmal kann man die Reihendarstellung der Exponentialfunktion \( e^x \) verwenden, in dem man dort anstatt der Variablen \( x \) die Matrix \( A \) einsetzt.

Die Reihe lautet dann \( \sum_{i=0}^\infty \frac{A^i}{i!} \) mit \( A^0 = I \)

Kann man aber z.B. die Matrix \( A \) diagonalisieren, existiert also eine Matrix \( T \) mit \( A = T D T^{-1} \) und \( D \) ist eine Diagonalmatrix, dann vereinfacht sich die Reihe zu

$$ T e^{D} T^{-1}  = T \begin{pmatrix} e^{d_1} & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{d_n}  \end{pmatrix} T^{-1} $$ wobei \( d_i \) die Diagonalelemente der Matrix \( D \) sind.

Answer 3

Es kommt auf die Matrix an, wenn die Matrix A diagonalisierbar ist, dann würde ich zunächst A diagonalisieren zu:

A=SDS^(-1)

wobei D die Diagonalmatrix ist, weil es gilt dan. nach einem Satz:

e^A = e^(SDS^(-1))=S*e^D*S^(-1)

und auf eine Diagonalmatrix kannst du die E-Abbildung ganz einfach verwenden, da müsstest du nur bei den jeweiligen Diagonalwerte die e-Abbildung anwenden.

Z.B. wenn wir e hoch eine Diagonalmatrix mit den Diagonalwerten 2 nehmen, ist es genau dasselbe wie die Matrix mit  Diagonalwerten e^2.