Question

Untersuchen Sie folgenden Reihenwert hinsichtlich seiner Existenz.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k^α} \), α ∈ ℝ

Comments

Vielleicht kannst Du schon mal einen Teil der Frage selbst abräumen: Kann die Reihe für positive a konvertieren?

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Vielen Dank schon mal für deine Hilfe...

ich hab es mal versucht und bin auf folgende Schlussfolgerung gekommen. Für alle α ≥ 0, tendiert die Reihe ja ins unendliche und nähert sich somit keinem Wert an, also ist sie divergent.

Für die negativen α < 0, erinnert mich die Reihe an eine harmonische Reihe und die besagt ja, für

(α > 1 konvergent und α ≤ 1 divergent) angepasst an meine Aufgabe, ich hoffe ich bin nicht durcheinander gekommen, wäre das ja dann für -1 ≤ α < 0 divergent und für -1 > α konvergent?

Das würde dann bedeuten, das für alle α < -1, der Reihenwert existiert?

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Hallo,

ja, das ist richtig.

Ich würde die erste Aussage etwas konkreter auf Standard-Sätze beziehen: Wenn \(a \geq 0\) ist, dann konvergiert \(k^a\) nicht gegen 0; also ist dann "das" notwendige Kriterium für die Konvergenz von Reihen nicht erfüllt.

Die Information, dass für \(a <-1\) die Reihe konvergiert, für \(-1 \leq a <0\) divergiert, kannst Du also Deinem Lehrmaterial zitieren?

Gruß Mathhilf

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Hm... also für die Konvergenz der harmonische Reihe, hatte ich mir dies im letzten Semester auf jedenfall notiert. Ich habe es ja nur der Aufgabe entsprechend angepasst.