Wie genau beweist man diese Identiät auf dem "richtigen" Weg?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Identitäten:

\( coth(3φ) = \frac{coth^3(φ)+3*coth(φ)}{3*coth^2(φ)+1} \)

Problem/Ansatz:

Wir diskutieren in der Study Group schon ewig um die Lösung dieser Aufgabe, da wir die alle bei der Prüfung falsch hatten. Wie genau beweist man also diese Identiät auf dem "richtigen" Weg?

P.S: mehr Hilfestellung hatten wir nicht, bis auf einen Hinweis, dass man sich zuerst überlegen sollte, wie man die Aufgabe möglichst elegant lösen könnte.

P.P.S: Wir wissen, dass wir es mit \( \frac{cosh(x)}{sinh(x)} \) und weiterführend mit \( e^x \) und \( e^-x \) erwitern müssen, Allerdings ist uns nicht ganz klar wie wir das hier anwenden sollen.

Answer 1

Ich nehme an, dass coth(x) als cosh(x)/sinh(x) definiert ist?

Nun sind cosh(x) und sinh(x) mit Hilfe von \(e^x\) und \(e^{-x}\) definiert.

Es ist wohl naheliegend, die Terme beider Seiten dahingehend umzuschreiben, um mit Hilfe von Bruchrechnung und Potenzgesetzen auf diese Identität zu kommen.

Comments

Ok, Fehler meinerseits in der Formulierung der Frage, soweit wären wir beim Lernen schon gekommen, aber wie verküpft man das nun, dass genau diese Identität rauskommt? Bzw. wie ist hier der Rechenweg?

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Scheitert ihr schon bei der Vereinfachung eines Doppelbruchs oder erst später?

Was habt ihr denn unter Verwendung von e^x auf der linken Seite und was auf der rechten Seite herausbekommen?

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Wir hätten folgende Umformung soweit:

\( \frac{cosh(3φ)}{sinh(3φ)}=\frac{e^{3φ}+e^{-3φ}}{e^{3φ}-e^{-3φ}}=\frac{(e^{φ}+e^{-φ})^3}{(e^{φ}-e^{-φ})^3} \)

Aber wir meinen, dass ja ein i in der Potenz fehlt, um die Eulersche Formel anzuwenden, oder liegen wir damit falsch?

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Um Himmels willen! Eure "Ergebnisse" im Zähler und Nenner sind sowas von falsch.

(a+b)³ ist NICHT a³+b³, sondern a³+3a²b+3b²a+b³.

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Oh mein Gott, wie konnten wir das nur übersehen. Manchmal braucht man echt nur nen Input von Außen wenn man schon so tief drinnen ist. Herzlichen Dank :D