Ortsvektor in ein XYZ-Koordinatensystem einzeichnen

Question

wie zeichnet man einen Vektor richtig in ein Koordinatensystem mit drei Achsen (X, Y , Z -- gegen den Uhrzeigersinn) ein? Aufbau:

 

Bsp. der Vektor a besteht aus ax = 1, ay = 2 und ax = 3 und lässt sich aufbauen durch Linearkombination der drei Basisvektoren. Ich gehe davon aus, dass a ein Ortsvektor ist und bei 0,0,0 startet und bei 1,2,3 endet. Wie zeichne ich den Punkt richtig ein?

In meinen Unterlagen steht, dass ich zuerst 1 Länge nach rechts gehen soll auf der X-Achse, danach soll ich von dem aktuellen Punkt 2 Längen parallel zur Y-Achse gehen und von diesem Punkt soll ich dann parallel zur Z-Achse 3 Längen hochgehen

Ich habe das auch versucht, nur leider ist die Länge meines Vektors (Betrag) nie Wurzel 14

Tipps wären nett.

Answer 1

Du kannst die Länge nicht an der Zeichnung nachmessen, da der Vektor a in der Zeichnung ja lediglich eine Projektion des Vektors a auf die Papierebene ist.

Tatsächlich aber geht der Vektor a ja "in den Raum" hinein und ist daher länger, als er auf dem Papier dargestellt wird.

Stelle dir vor, dein Koordinatensystem wäre tatsächlich dreidimensional, also quasi die Ecke eines Würfels. Wenn du nun ein Maßband im Ursprung befestigen und die Entfernung vom Ursprung zum Punkt ( 1 | 2 | 3 ) messen würdest, dann kämst du tatsächlich auf die Länge √ 14

Comments

Okay danke, damit ist diese Sache auch geklärt. Wie ist das nun mit der Zeichnung? Ist der Punkt richtig eingezeichnet? (auch X,Y,Z-Achse korrekt?) Oder wie macht man das richtig?


Ich brauche diese Zeichnung für die Berechnung eines Dreiecks und da würd ich gerne die Punkte aufzeichnen und mit den Koordinatenursprung verbinden.

---

Du hast sowohl das Koordinatensystem als auch den Vektor ( 1 | 2 | 3 ) bzgl. dieses Koordinatensystems richtig eingezeichnet.

Alternativ kannst du es auch so machen wie "Anonym" es in der zweiten Antwort beschreibt.

Answer 2

Du scheinst den Vektor soweit richtig eingezeichnet zu haben ;)

Den Betrag des Vektors hast du auch richtig berechnet, allerdings kann man generell nicht einfanch (wie du vermutest) seinen Betrag im 3-Dimensionalen Koordinatensystem abelesen... Das liegt daran, das die sichtbare Länge eines Objekts (Hier unser Vektor) immer auf den Blickwinkel des Betrachters ankommt.

Optional: Üblicherweise wird das Koordinatensystem so gezeichnet, dass die X-Achse zu dir gerichtet ist, die Y-Achse nach rechts und die Z-Achse nach oben zeigt...

Comments

Ich habe die Zeichnung gemäß den Vorlesungsunterlagen angefertigt, da dort die "Rechte-Hand-Regel" angewandt wird (Daumen=X-Achse, Zeigefinger=Y-Achse (Tiefe), Mittelfinger=Z-Achse)


Aber diese Darstellung der Achsen ist trotzdem mathematisch korrekt, oder?

---

Ja, ist richtig ;)

Answer 3

Ich bins nochmal.

Ich habe in einer Aufgabe zwei Vektoren a b gegeben und diese spannen ein Dreieck auf, wovon ich die dritte Seite (Vektor) noch berechnen soll.

So sieht meine Skizze nun aus:

 

Um jetzt das Dreieck zu schließen, müsste ich doch den Abstand zwischen dem Punkt A und B berechnen, also die Strecke AB = b - a

In welche Richtung würde dann der Vektor c zeigen? Zum Punkt A oder zum Punkt B ?

Comments

Bedenke, dass ein Vektor keinen bestimmten Anfangspunkt hat, sondern überall im Raum liegen kann. Über den Vektor B-A kann man daher nur sagen, dass er parallel zur Strecke AB liegt und dass er, wenn er zwischen A und B läge, von A nach B orientiert wäre, also zum Punkt B zeigen würde.

---

Der Betrag vom Vektor B-A ist dann der Abstand (Längeneinheiten) von dem Punkt A zum Punkt B, richtig?


Ich hätte noch eine allgemeine Frage. Bei einem Ortsvektor ist klar, dass z.B der Vektor (6 6 6 ) auf den Punkt X=6 Y=6 Z=6 zeigt. Aber wie ist das bei einem Vektor, der nicht beim Ursprung startet. Da kann man doch nicht sagen, dass der Vektor (1 1 1) auf den Punkt X=1, Y=1, Z=1 zeigt, oder?

Sicher kann man jeden Vektor so verschieben, dass er ein Ortsvektor wird und dann die Vektorkomponenten der Endpunkt sind.

Stehen dann bei einem Vektor, der nicht beim Ursprung startet, die Koordinaten ax, ay und az nur für die Länge (Betrag) des Vektors, oder noch für etwas anderes?