Bestimmen Sie eine Basis für den Untervektorraum

Question

Im reellen Standardvektorraum ℝ⁴

seien die vier Standardeinheitsvektoren
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)
sowie die beiden weiteren Vektoren
x = (1, 1, 1, 1) und y = (1, 2, 3, 4)
gegeben. Bestimmen Sie eine Basis für den Untervektorraum
U = ⟨x, y⟩ ∩ ⟨e1, e2, e3⟩ ⊆ ℝ⁴
.

Answer 1

Sei \(B=\{x,y,e_1, e_2,e_3\}\).

1. Prüfe ob es einen Vektor \(v\in B\) gibt, der als Linearkombination der Vektoren aus \(B\setminus \{v\}\) geschrieben werden kann.
2. Falls ja, dann entferne \(v\) aus \(B\) und gehe zurück zu 1.

   Falls nein, dann ist \(B\) eine Basis von \(U\).

Answer 2

Da alle Vektoren aus \(\langle e_1,e_2,e_3\rangle\) eine 0 in der 4-ten Koordinate

haben, gilt dies auch für alle Vektoren aus \(U\).

Alle Vektoren von \(U\) sind Linearkombinationen von x und y:

\(a(1,1,1,1)+b(1,2,3,4)=(a+b,a+2b,a+3b,a+4b)\), wobei \(a+4b=0\) ist,

folglich haben alle Vektoren aus \(U\) die Gestalt \(b(-3,-2,-1,0)\),

d.h. \(U=\langle (3,2,1,0) \rangle\).