Exponent größer als im Zähler - Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

$\displaystyle \int\limits_{}^{}$ $\frac{80x^{5}-10x^{4}}{x^{4}+12x^{2}-64}$ dx

Problem/Ansatz:

Hallo es soll die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden, um das Integral zu bestimmen. Im Normalfall kann man die Nullstellen im Nenner bestimmen und Partialberechnung + Koeffizentenvergleich vornehmen. Jedoch ist der Exponent im Zähler größer als im Nenner, wie gehe ich da vor?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{80x^5-10x^4}{x^4+12x^2-64}=(80x-10)+\frac{(80x^5-10x^4)-(80x-10)(x^4+12x^2-64)}{x^4+12x^2-64}$$$$\phantom{f(x)}=80x-10-\frac{(80x-10)(12x^2-64)}{(x^2+16)(x^2-4)}=80x-10-\frac{(80x-10)(12x^2-64)}{(x^2+16)(x+2)(x-2)}$$

Den verbliebenen Bruch zerlegen wir in Partialbrüche:$$\frac{(80x-10)(12x^2-64)}{(x^2+16)(x+2)(x-2)}=\frac{Ax+B}{x^2+16}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-2}$$$$C=\left.\frac{(80x-10)(12x^2-64)}{(x^2+16)\cdot\cancel{(x+2)}\cdot(x-2)}\right|_{x=-2}=-34$$$$D=\left.\frac{(80x-10)(12x^2-64)}{(x^2+16)\cdot(x+2)\cdot\cancel{(x-2)}}\right|_{x=2}=-30$$Wir stellen damit die Partialbruchgleichung um:$$\frac{Ax+B}{x^2+16}=\frac{(80x-10)(12x^2-64)}{(x^2+16)(x+2)(x-2)}+\frac{34}{x+2}+\frac{30}{x-2}=\frac{1024x-128}{x^2+16}$$Daraus lesen wir $A=1024$ und $B=-128$ ab und haben die Funktion $f(x)$ damit in folgende Partialbruchdarstellung umgeformt:$$f(x)=80x-10-\frac{1024x-128}{x^2+16}+\frac{34}{x+2}+\frac{30}{x-2}$$

Den ersten Bruch formen wir noch so um, dass er sehr leicht integrierbar ist:$$\frac{1024x-128}{x^2+16}=\frac{1024x}{x^2+16}-\frac{128}{x^2+16}=\frac{512\cdot2x}{x^2+16}-\frac{8}{\left(\frac x4 \right)^2+1}$$

Damit ist die Zerlegung der Funktion vollständig:$$f(x)=80x-10-512\,\frac{2x}{x^2+16}+\frac{8}{1+\left(\frac x4\right)^2}+\frac{34}{x+2}+\frac{30}{x-2}$$und das Integral lautet:$$\int f(x)\,dx=40x^2-10x+512\ln(x^2+16)+32\arctan\left(\frac x4\right)+34\ln|x+2|+30\ln|x-2|+C$$

Answer 2

Zähler:

80x⁵-10x⁴ = 10x⁴•(8x-1)

Nenner:

x⁴+12x²-64 = (x²+16)(x+2)(x-2)

$\frac{80 x^{5}-10 x^{4}}{x^{4}+12 x^{2}-64}\\ =-\frac{128(8 x-1)}{x^{2}+16}+\frac{30}{x-2}+\frac{34}{x+2}+80x-10$

Answer 3

Führe zunächst eine Polynomdivision durch und wende Partialbruchzerlegung auf den Rest an

Comments

Also im Nenner eine Polynomdivision durchführen?