Zeigen Sie für n ≥ 2, dass xn 0 gilt, sowie

Question

Es seien p ≥ 2 eine natürliche und a > 0 sowie x1 > 0 reelle
Zahlen. Für n ≥ 2 sei x_n rekursiv definiert durch
x_n :=1÷p × (p − 1)x_n−1 + a ÷ x_n−1^p−1

.
Zeigen Sie für n ≥ 2, dass x_n > 0 gilt, sowie
(a) x_n = x_n−1  (1 +1÷p(a÷x^p_n−1 − 1))
,
(b) x^p_n ≥ a,

(c) (x_n+1 − x_n)x^p−1_n ≤ 0.

Folgern Sie, dass (x_n)_n∈N gegen die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung
x^p = a konvergiert.
Hinweis zu (b): Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung.