Aufgabe:
a) Seien \( a, b \in \mathbb{R}, a<b \) und \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) von beschränkter Variation. Beweisen Sie die in der Vorlesung nicht gezeigte Aussage von Satz 4.20: Die Funktion \( f \) ist Differenz \( f=p-q \) von zwei monoton wachsenden Funktionen \( p \) und \( q \).
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
i) Zeigen Sie, dass die durch \( q(x)=V(f ; a, x)-f(x), x \in(a, b] \), und \( q(a)=-f(a) \) definierte Funktion \( q:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) monoton wachsend ist.
ii) Folgern Sie, dass \( f=p-q \) mit zwei monoton wachsenden Funktionen \( p, q \) : \( [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \), wobei \( q \) aus \( \mathbf{i} \) ) .
Hinweis: Nutzen Sie, dass für alle \( a, b, c \in \mathbb{R}, a<c<b \), und alle \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) :
\( |f(b)-f(a)| \leq V(f ; a, b), \quad V(f ; a, b)=V(f ; a, c)+V(f ; c, b) . \)
Problem/Ansatz:
Bin komplett raus. Ich brauche den kompletten Lösungsweg von i und ii :/
