Die Funktion f ist eine Differenz von 2 monoton wachsenden Funktionen

Question

Aufgabe:

a) Seien $a, b \in \mathbb{R}, a<b$ und $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ von beschränkter Variation. Beweisen Sie die in der Vorlesung nicht gezeigte Aussage von Satz 4.20: Die Funktion $f$ ist Differenz $f=p-q$ von zwei monoton wachsenden Funktionen $p$ und $q$.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:

i) Zeigen Sie, dass die durch $q(x)=V(f ; a, x)-f(x), x \in(a, b]$, und $q(a)=-f(a)$ definierte Funktion $q:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ monoton wachsend ist.

ii) Folgern Sie, dass $f=p-q$ mit zwei monoton wachsenden Funktionen $p, q$ : $[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, wobei $q$ aus $\mathbf{i}$ ) .
Hinweis: Nutzen Sie, dass für alle $a, b, c \in \mathbb{R}, a<c<b$, und alle $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ :
$|f(b)-f(a)| \leq V(f ; a, b), \quad V(f ; a, b)=V(f ; a, c)+V(f ; c, b) .$

Problem/Ansatz:

Bin komplett raus. Ich brauche den kompletten Lösungsweg von i und ii :/