Punkt mit Parametern auf Ebenen-Lage Überprüfen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Habe eine Frage bei der Aufgabe 2b).

Es geht darum, für welchen Wert von a ein Punkt in Vektorform mit dem Parameter a auf der Ebene liegt

In der Lösung steht, dass ein Punkt von der Variablen a oder auch zusätzlich von den Variablen s und r abhängen kann. Woran sehe ich beim Lösen des LGS, dass ein Punkt nur von a oder ebenfalls von s und r abhängt?

Answer 1

Setze die Ebene und den Punkt gleich

[2, 1, 1] + r·[1, 1, 0] + s·[-1, 1, 1] = [a, a + 3, 3]

Und wandel das jetzt in ein Gleichungssystem um

2 + r - s = a
1 + r + s = a + 3
1 + s = 3 → s = 2 in die anderen Einsetzen

2 + r - 2 = a → r = a
1 + r + 2 = a + 3 → r = a

Der Punkt befindet sich für r = a in der Ebene. Also befindet sich der Punkt für jedes a in der Ebene.

Probierst du es mal mit dem zweiten Punkt alleine?

Comments

Bei den beiden Punkten variiert doch aber lediglich die Y-Koordinate.

Aus den anderen beiden, identischen Gleichungen erhalte ich aus einer der beiden wieder s=2 und wenn ich diese in die anderen einsetze erhalte ich einmal a=r und einmal a=3

Wie muss ich das jetzt deuten und woher weiß ich, dass hier nur bei a=3 der Punkt auf der Ebene liegt?

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wenn ich diese in die anderen einsetze erhalte ich einmal a=r und einmal a=3

Aus der Gleichung a = 3 geht doch schon hervor dass a = 3 sein muss. Wenn dann noch r = a gilt dann muss r eben auch 3 sein. Also ist das Gleichungssystem nur für a = 3 erfüllt und damit liegt der Punkt nur für a = 3 auf der Ebene.

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Dann müsste man doch aber in der Lösung dazuschreiben, dass auch a = 3 und r = 3 gelten müssen?

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Die Frage war, für welche Werte von a der Punkt in der Ebene liegt. Der zugehörige Wert von r soll nicht angegeben werden.

Als Antwort langt: Für a = 3 liegt der Punkt in der Ebene.

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Ja, das stimmt. Strengenommen wird nur nach a gefragt. Aber analog zur Lösung, bei der beim Punkt D ebenfalls steht, dass s = 2 gelten muss wäre das doch dann hinzuschreiben, oder?

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Es schadet nicht wenn du es dazuschreibst. Ausrechnen musst du es ja eh.

Answer 2

Aloha :)

Bei allen Fragen sollst du eintscheiden, ob ein Punkt \((x;y;z)\) in der Ebene liegt oder nicht. Dazu kannst du jedes Mal ein Gleichungssystem lösen$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+r-s\\1+r+s\\1+s\end{pmatrix}$$um die passenden Werte für \(r\) und \(s\) zu finden, oder du überlegst dir zuerst, welche Gleichung die Koordinaten eines Punktes erfüllen müssen, damit sie in der Ebene liegen. Das machen wir jetzt...

Die letzte Gleichung lautet \((z=1+s)\), also ist \((s=z-1)\). Das setzen wir ein:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+r-(z-1)\\1+r+(z-1)\\1+(z-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+r-z\\r+z\\z\end{pmatrix}$$Die mittlere Gleichung lautet \((y=r+z)\), also ist \((r=y-z)\). Das setzen wir ein:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+(y-z)-z\\ (y-z)+z \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+y-2z\\y\\z\end{pmatrix}$$

Die verbliebene erste Gleichung liefert die gesuchte Koordinatendarstellung der Ebene:$$E\colon\;x-y+2z=3$$

Jetzt kannst du die Koordinaten aller Punkte in diese Gleichung einsetzen und prüfen, ob sie erfüllt ist oder nicht.