Geradengleichung aufstellen (Vektoren) Wie berechnet man es?

Question

Aufgabe:

Ich soll damit lernen eine Geradengleichung aufzustellen.

Text erkannt:

Mithilfe von Vektoren kann man sowohl Geraden in der Ebene als auch Geraden im Raum beschreiben.
In Fig. 1 liegen die Punkte \( P, Q, R \) und \( S \) auf derselben Geraden g. Mit dem Ortsvektor \( \vec{p}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right) \) des Punktes P und dem Vektor \( \overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \) gilt für die Ortsvektoren \( \overrightarrow{\mathrm{q}} \), \( \vec{r} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{s}} \) der Punkte Q, R und S:
Fig.1 \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+1 \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 6\end{array}\right)=\vec{q},\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 7\end{array}\right)=\vec{r} \) und \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+(-1)\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 6 \\ 4\end{array}\right)=\vec{s} \).
Ein beliebiger Punkt \( X \) mit dem Ortsvektor \( \vec{x} \) liegt auf der Geraden \( g \) in Fig. 1, wenn es eine reelle Zahl r gibt, sodass gilt: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \).
Setzt man umgekehrt in die Gleichung \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \) für \( r \) alle reellen Zahlen ein, dann erhält man die Ortsvektoren aller Punkte der Geraden g. Deshalb bezeichnet man diese Gleichung als Gleichung der Geraden g.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht was genau damit gemeint ist. Vorallem diese lange Gleichung nach dem: "(...) der Punkte Q,R und S.

Kann mir dabei jemand helfen?

Answer 1

Hallo und willkommen in der Mathelounge,

der Vektor \( \vec{p}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right) \) gibt die Richtung an, die man vom Ursprung aus geht, um zum Punkt \(P=\begin{pmatrix} 3\\4\\5 \end{pmatrix}\) zu gelangen.

Gehst du von P aus entlang es Richtungsvektors \(\vec{u}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \), kommst du an den Punkt \(Q=\begin{pmatrix} 2\\2\\6 \end{pmatrix}\).

Verdoppelst du diesen Weg, also \(P+2\cdot \vec{u}\), gelangst du zum Punkt \(R=\begin{pmatrix} 1\\0\\7 \end{pmatrix}\).

Gehst du vom Punkt P in Gegenrichtung, also \(P+(-1)\cdot \vec{u}\), gelangst du zum Punkt \(S=\begin{pmatrix} 4\\6\\4 \end{pmatrix}\).

Die Geradengleichung wird also durch einen Ausgangspunkt P und einen Richtungsvektor q bestimmt. Wenn du für r beliebige Zahlen einsetzt, erhältst du weitere Punkte auf dieser Geraden.

Melde dich, wenn du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Achso Vielen Dank. Jetzt wurde es bisschen deutlicher, also waren es einfach nur Beispielen wie es aussehen würde, wenn man in bestimmte Richtungen gehen würde?:)

Liebe Grüße

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Ja, genau. Es wird immer von P aus in Richtung des Vektors u gegangen,

einfach zum Punkt Q

doppelt zum Punkt R

einfach in Gegenrichtung zum Punkt S

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Achso alles klar. Kann ich Ihnen eventuell noch eine Frage stellen?

Undzwar:

Text erkannt:

Ein Auto fährt vom Startpunkt 0 aus
auf geradem Weg zu einer Auffahrt einer
geradlinig verlaufenden Autobahn und
fährt auf der Autobahn weiter in Richtung
Nordosten.
Mithilfe von Vektoren sollen alle Positionen 2
auf der Autobahn beschrieben werden.
1. Die Auffahrt befindet sich im Ort \( P \) mit dem Ortsvektor \( \vec{p} \).
Zeichnen Sie \( \vec{p} \) in die Skizze ein.
2. Der Weg von der Auffahrt zum 1. Rastplatz kann durch den Vektor \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) beschrieben werden. Zeichnen Sie \( \vec{u} \) in die Skizze ein.
3. a) \( \overrightarrow{x_{1}} \) sei der Ortsvektor von Rastplatz 1 (einzeichnen). Beschreiben Sie, wie das Auto von 0 aus zum Rastplatz 1 gelangt, indem Sie für \( \overrightarrow{x_{1}} \) eine Gleichung mit den Vektoren \( \vec{p} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) aufstellen: \( \quad \overrightarrow{x_{1}}=\vec{p}+\vec{u} \)
b) \( \overrightarrow{x_{2}} \) sei der Ortsvektor von Rastplatz 2. Stellen Sie wie in a) eine Gleichung für \( \overrightarrow{x_{2}} \) mit den Vektoren \( \vec{p} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) auf:
\( \begin{array}{l} \overrightarrow{x_{2}}=\vec{p}+2,5 \vec{u} \\ \overrightarrow{x_{3}}=\vec{p}-0,3 \cdot \vec{u} \end{array} \)
c) \( \overrightarrow{x_{3}} \) sei der Ortsvektor des Parkplatzes. Für \( \overrightarrow{x_{3}} \) gilt also:
d) Drücken Sie nun mit \( \vec{p} \) und \( \vec{u} \) und einer reellen Zahl r aus, wie man von 0 aus mit dem Auto jeden beliebigen Ort X mit Ortsvektor \( \vec{x} \) auf der Autobahn erreichen kann:

Bei b) wie kommt man auf die Zahlen? 2.5 zum Beispiel, weil es sind ja nirgendwo Zahlen angegeben.

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Von P bis zum Rastplatz 1 sind es 10 km. Betrachte diese 10 km als eine Längeneinheit (LE), deswegen \(\vec{x_1}=\vec{p}+1\cdot\vec{u}\)

Von P bis Rastplatz 2 sind es aber 25 km, also 2,5 Längeneinheiten, deswegen \(\vec{x_2}=\vec{p}+2,5\cdot\vec{u}\)

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Okay gut. Und woher kommt jetzt dieser Vektor, bei den anderen konnte ich es ablesen.

Text erkannt:

4. a) Bestimmen Sie aus nebenstehender Abbildung die Vektoren \( \vec{p}, \vec{q} \) und \( \vec{u} \).
\( \vec{p}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right) ; \quad \vec{q}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3\end{array}\right) ; \quad \vec{u}=\left(\begin{array}{r}-4 \\ 1\end{array}\right) \)
b) Beschreiben Sie alle Orte \( X \) der Autobahn mithilfe von \( \vec{p} \) und \( \vec{u} \).
\( \vec{x}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 1\end{array}\right) \) mit \( r \in \mathbb{R} \).

Tut mir leid für die vielen Fragen, habe seit paar Tagen leider keine Mathe-Nachhilfe mehr:(

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Du kannst solange fragen, bis du alles verstanden hast.

Zur Bestimmung des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) von einem Punkt A zu einem Punkt B berechnest du die Koordinaten des Endpunktes minus den Koordinaten des Anfangspunktes.

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix}\)

Hier also \(\vec{u}=\vec{q}-\vec{p}=\begin{pmatrix} -2-2\\3-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\1 \end{pmatrix}\)

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Dankeschön!

Oben nochmal zu der Aufgabe 3) dort stehen ja viele kurze Antworten in den Kästchen wäre dies auch die Antwort oder gibt es dazu auch eine Rechnung?

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Da gibt es nicht groß was zu rechnen.

-0,3 drückt aus, dass es um 0,3 LE in die entgegengesetzte Richtung geht.

Unter d) ist die allgemeine Geradengleichung notiert.

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Okay, und wie wurde das rausgefunden?

Text erkannt:

Für \( r=0 \) erhält man den Ortsvektor von Auffahrt 1, für \( r=1 \) den von Auffahrt 2 .
c) Stellen Sie für dieselbe Autobahn eine Parametergleichung mit einem Stützvektor auf, der zu Auffahrt 2 führt. \( \vec{x}=\vec{q}+s \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 1\end{array}\right) \) mit \( s \in \mathbb{R} . \)
Für \( s=-1 \) erhält man den Ortsvektor von Auffahrt 1, für \( s=0 \) den von Auffahrt 2 .

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\( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 1\end{array}\right) \) mit \( r \in \mathbb{R} \)

Wenn r = 0, erhältst du

\( \left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)+0 \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 1\end{array}\right) =\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}\). Das entspricht den Koordinaten des Punktes Auffahrt 1.

Wenn r = 1, erhältst du \( \left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)+1 \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 1\end{array}\right) =\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}\). Das entspricht den Koordinaten des Punktes Auffahrt 2.