Wie genau funktioniert diese Aufgabe mit sinus im Nenner?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert

\( \lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sin (4 x-12)} . \)

Wie genau funktioniert diese Aufgabe mit sinus im Nenner?

Comments

Hat sich erübrigt

Answer 1

lim (x → 3) (x - 3) / SIN(4·x - 12)

L'Hospital

lim (x → 3) 1 / (4·COS(4·x - 12)) = 1/4

Answer 2

Ohne L'Hospital:

Mit \(y=4x-12\) gilt \(x\rightarrow 3 \iff y\rightarrow 0\), somit$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{\sin(4x-12)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow 3}\frac{4x-12}{\sin(4x-12)}=\\ \frac{1}{4}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{y}{\sin(y)}=\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}$$

Comments

Wobei man hier als gegeben hinnehmen muss das der Grenzwert x/sin(x) einfach 1 ist.

Oder man weiß das sin(x) für kleine x angenähert werden darf als x.

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Wobei man hier als gegeben hinnehmen muss

Vor 30 (40?) Jahren war das mal im Unterricht der Klasse 12 vermitteltes Standardwissen.

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@abakus:

in der Tat habe ich das aus meiner Schulzeit :-)
Bei mir war das vor ca. 57 Jahren.