Du kennst sicherlich die geometrische Reihe, i.e.
\(\begin{aligned} \sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}, \quad|x|<1\end{aligned} \)
Da Potenzreihen auf ihrem Konvergenzintervall gleichmässig konvergieren (sollte es wie oben offen sein, betrachte man ein kompaktes Teilinterval), so können wir termweise integrieren, insbesondere ergibt sich
\(\begin{aligned} \int \sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \int x^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}\end{aligned} \)
Machen wir das Gleiche nochmal, erhalten wir
\(\begin{aligned} \int \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \int \frac{x^{n}}{n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}=\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n-1)}\end{aligned} \)
Es gilt also
\(\begin{aligned} \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n-1)}=\iint \frac{1}{1-x}=\int-\ln (1-x) =x-(x-1)-\ln (1-x)\end{aligned} \)
Eine andere Möglichkeit wäre gewesen, eine Partialbruchzerlegung durchzuführen.
