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Es sei \( A \in \mathrm{SO}(3) \). Wir wollen zeigen, dass \( A \) ähnlich ist zu einer Matrix
\( \tilde{A}_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ 0 & \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \end{array}\right) . \)
Diese Darstellung heißt die euklidische Normalform von \( A \).
Geometrisch bedeutet dies, dass der Eigenraum von \( A \) eine Drehachse senkrecht zu einer Ebene ist, in der \( A \) eine Drehung um den Winkel \( \alpha \) durchführt.
a) Zeigen Sie \( \tilde{A}_{\alpha} \in \mathrm{SO}(3) \).
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jedes reelle Polynom vom Grad 3 eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \) besitzt.
c) Zeigen Sie, dass die Matrix \( A \) den Eigenwert 1 besitzt.
d) Folgern Sie, dass es ein \( \alpha \in[0,2 \pi) \) gibt, sodass \( A \) ähnlich zu \( \tilde{A}_{\alpha} \) ist.
e) Stellen Sie fest, dass \( \alpha \) sogar in \( [0, \pi] \) gewählt werden kann.
Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Freue mich über jegliche Antworten. Vielen Dank im Voraus!
