Zeigen Sie \tilde{A}\alpha ∈ {SO}(3) .

Question

Text erkannt:

Es sei $A \in \mathrm{SO}(3)$. Wir wollen zeigen, dass $A$ ähnlich ist zu einer Matrix
$\tilde{A}_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ 0 & \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \end{array}\right) .$
Diese Darstellung heißt die euklidische Normalform von $A$.
Geometrisch bedeutet dies, dass der Eigenraum von $A$ eine Drehachse senkrecht zu einer Ebene ist, in der $A$ eine Drehung um den Winkel $\alpha$ durchführt.
a) Zeigen Sie $\tilde{A}_{\alpha} \in \mathrm{SO}(3)$.
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jedes reelle Polynom vom Grad 3 eine Nullstelle in $\mathbb{R}$ besitzt.
c) Zeigen Sie, dass die Matrix $A$ den Eigenwert 1 besitzt.
d) Folgern Sie, dass es ein $\alpha \in[0,2 \pi)$ gibt, sodass $A$ ähnlich zu $\tilde{A}_{\alpha}$ ist.
e) Stellen Sie fest, dass $\alpha$ sogar in $[0, \pi]$ gewählt werden kann.

Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Freue mich über jegliche Antworten. Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

b)  Polynome 3. Grades haben für x gegen ±∞ auch ±∞ als Grenzwert.

Also jedenfalls sowohl positive als auch negative Funktionswerte.

Außerdem sind die zugehörigen Funktionen stetig auf ℝ,

haben also nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine reelle

Nullstelle.