zeige, dass Rn mit der euklidischen Metrik vollständig ist.

Question

Man zeige, dass Rⁿ mit der euklidischen Metrik vollständig ist.

Answer 1

Wegen \(|x_i-y_i|\leq ((x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2)^{1/2}\) kann man leicht zeigen,

dass die Komponenten einer Cauchyfolge im \(\mathbb{R}^n\) jeweils Cauchyfolgen

in \(\mathbb{R}\) bilden. Da \(\mathbb{R}\) vollständig ist, konvergieren die

Komponenten jeweils gegen eine reelle Zahl \(z_i\). Man definiere nun

\(z=(z_1,\cdots,z_n)\) und zeige, dass die Cauchyfolge gegen \(z\)

konvergierrt, was kein Problem sein dürfte, da die euklidische Norm eine

stetige Funktion der Komponenten ist.

Answer 2

Hello, nehme dir eine Cauchy Folgen. Cauchy-Folgen sind im allgemeinen beschränkt. Nach Satz von Bolzwano-Weierstraß besitzt jede beschränkte Folge eine Konvergent Teilfolge

Führe mit dieser einer Dreiecksungleichung durch und dann hast dus während du die Definition von Konvergenz anwendest.

Übertrage das ganze auf R^n