Wie kann ich aus momentanen Änderungsraten die y Werte der ursprünglichen Funktion berechnen?

Question

Text erkannt:

e) In der folgenden Abbildung 3 ist der Wasserstand im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr \( (t=0) \), bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr \( (t=3,5) \), in einem erweiterten Koordinatensystem dargestellt.

Die Abbildung 4 zeigt die momentane Änderungsrate des Wasserstandes im verlängerten Zeitraum vom \( 20.10 .2016,0: 00 \) Uhr, bis zum \( 28.10 .2016,12: 00 \operatorname{Uhr}(t=8,5) \).

Skizzieren Sie, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr.

Aufgabe:

Die Funktion der Abbildung 3 lautet -80/27x³+40/3x²+ 130

Problem/Ansatz:

ch habe den Tangententerm ausgerechnet an den entsprechenden Stellen, aber es kommt trotzdem was falsches raus. Und wenn ich die Werte in der Funktionsgleichung einsetze, entsprechen  sie nicht die richtigen Werte in Abbildung 3 in der Lösung.

Answer 1

An den Nullstellen der Änderungsrate liegen Extremstellen des Wasserstandes (rot).

An den Extremstellen der Änderungsrate liegen Wendestellen des Wasserstandes (grün).

Damit kannst du den ungefähren Verlauf des Wasserstandes einzeichnen.

Answer 2

Die Wirkung der momentanen Änderungsrate auf

den Wasserstand kannst du durch Integration bestimmen.

Dazu kannst du z.B. näherungsweise abzählen wieviele

"Kästchen" zwischen Funktionsgraph der Änderungsrate

und x-Achse liegen. Für den Bereich von 0 bis 3 wären das etwa

15 bis 16. Jedes Kästchen entspricht einer Zunahme um 0,5*5=2,5 cm.

15*2,5 = 37,5, also hat der Wasserstand von 0 bis 3 etwa um 37,5 cm

zugenommen, von 130 bis 167,5 (genauer sind es 170, also

wohl doch eher 16 Kästchen).