Abgeschlossenheit, Offenheit und Kompaktheit von Mengen untersuchen

Question

In \( \mathbb{R}^{3} \) (mit euklidischer Metrik) seien die Mengen

\( \begin{aligned} S &:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}>42\right\} \\ T &:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+42 y^{2}-z^{2}=42\right\} \\ W &:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2022 x^{2}+y^{2}+42 z^{2} \in[42,2022]\right\} \end{aligned} \)
gegeben. Untersuchen Sie die Mengen \( S, T \) und \( W \) auf Offenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit.

Das ist die Aufgabe. Wir haben alle Begriffe in der Vorlesung definiert und behandelt (auch den Satz von Heine-Borel, der hier im \( \mathbb{R}^{3} \) helfen könnte). Trotzdem fällt es mir schwer einen ersten Ansatz zu finden. Ich bedanke mich schonmal für eure Hilfe.

Answer 1

S ist offen und besteht aus allen Punkten außerhalb der

Kugel um den Ursprung mir r=√42. Also weder abgeschlossen noch

kompakt.

T ist abgeschlossen aber nicht beschränkt ( z.B. sind alle Punkte (t;1;t) in T ) , also nicht kompakt.

W ist wohl abgeschlossen und beschränkt.

Comments

Wie zeige ich das am besten?

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S: Nimm einen Punkt beliebigen Punkt aus S, etwa P(x;y;z).

Dann gilt für den x^2 + y^2 + z^2 = d > 42.

Und damit 42-d > 0. Dann ist die ganze ε-Kugel mit z.B.

ε= (42-d)/10 sicherlich noch in S.

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Danke dir für deine Hilfe!

Answer 2

Hello,

Hattet ihr den Satz, dass in R^n die kompakten Mengen die Beschränkten + abgeschlossenen sind?

Wenn ja:

S ist offen, weil das Komplement zum Beispiel abgeschlossen ist. Warum ist das so? Weil zum Beispiel für jede Konvergente Folge der Grenzwert in der Menge liegt. Erkennt man dann bei der Komplementbildung an dem kleiner gleich. Natürlich kann man auch dort mit der Definition von Offenheit argumentieren.

T und W sind abgeschlossen . T ist der Rand eines Kreises, der Rand einer Menge ist abgeschlossen, kann man auch über Folgenkriterium argumentieren

Gleiches gilt für W + beschränkt

Comments

Ja genau den Satz hatten wir. Kann ich auch so argumentieren:

Betrachte die abgeschlossene Kugel B mit Radius 42 um 0. Dann ist S nach Definition R^3\B. Da B abgeschlossen ist S offen.

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Wenn ihr diese Eigenschaften (Kugel im R^3) schon hattet,

geht das wohl so. Ansonsten muss man auf die Dreiecksungl. zurückgreifen.

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Ja die hatten wir schon. Ich danke dir!