Zeige mit Banachschem Fixpunktsatz...

Question

Aufgabe:

Sei g ∈ C([0; 0,5],ℝ). Zeige mit Banachschem Fixpunktsatz, dass es genau ein f ∈ C([0; 0,5],ℝ) gibt mit

$$f(x)-x \int \limits_{0}^{0.5}f(t)dt=g(x), ∀x∈[0; 0,5]$$

Berechne zusätzlich f in Abhänigkeit von g.

Problem/Ansatz:

Ich bin bis jetzt so weit, stecke aber nun fest, kann mir jemand sagen, wie es weiter geht?

Sei F: C([0; 0,5], ℝ) → C([0; 0,5], ℝ) eine Abbildung und F(f)=f die dazugehörende Fixpunktgleichung. Sei x₀ ∈[0; 0,5], als Startwert der Folge (x_n)_n ,die folgende Definition hat x_n+1 = F(x_n). Sei f₀ = 0 ∈ C([0; 0,5], ℝ)

$$g(x)=f(x)-x \int \limits_{0}^{0.5}f(t)dt = f_0-x \int \limits_{0}^{0.5}tf(t)dt= (Tf)(x)$$

(X, ||.||_∞) = C([0; 0,5], ||.||_∞) , T: x→x, (Tf)(x), x∈[0; 0,5], f↦Tf

T ist Kontraktion:

⇒_(B.F.) ∃ f∈x, Tf =f

Fixiere f₀:=0, f_n+1= Tf_n

⇒f_n → f

$$(Tf_0)(x)=0-x \int \limits_{0}^{0.5}tf_0(t)dt = 0.$$

Und jetzt?

Vielen Dank!

Answer 1

Also unsere Funktion, deren Fixpunkt wir berechnen wollen, könnte z.B.
\( \mathrm{T}(\varphi)(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})+x \int \limits_{0}^{0.5} \varphi(\mathrm{t}) \mathrm{dt} \)
sein, da für einen Fixpunkt \( f \) dann gilt
\(\begin{aligned} T(f)(x)=f(x) \Longleftrightarrow g(x)+x \int \limits_{0}^{0.5} f(t) d t=f(x)\end{aligned} \)
wie gewünscht. Das Obige ist nun eine Kontraktion bezüglich der Supremumsnorm, da
\( \begin{aligned} \left\| T( \varphi )( x) - T( \gamma )( x)\right\|_{\infty} &= \left\| x\int_{0}^{0.5} (\varphi ( t) - \gamma ( t))\mathrm{~d}t \right\|_{\infty} \\ &= \sup_{x \in [0, 0.5]} \left| x \int_{0}^{0.5} \left( \varphi ( t) - \gamma ( t)\right)\mathrm{~d}t \right | \\ & \leqslant 0.5 \left| \int_{0}^{0.5} \left( \varphi ( t) - \gamma ( t)\right) \mathrm{~d}t \right | \\[5pt] & \leqslant 0.5  \int_{0}^{0.5} \left| \varphi ( t) - \gamma ( t)\right |\mathrm{~d}t \\ &\leqslant 0.5 \int_{0}^{0.5} \sup_{z \in [0, 0.5]} \left| \varphi ( t) - \gamma ( t)\right |\mathrm{~d}t \\ & \leqslant 0.5 \int_{0}^{0.5} \left\| \varphi ( z) - \gamma ( z)\right\|_{\infty} \mathrm{~d}t \\[5pt] &= 0.25 \left\| \varphi ( z) - \gamma ( z)\right\|_{\infty} \end{aligned} \)

Wichtig ist auch, dass \( \mathrm{T}: \mathrm{C}([0,0.5]) \rightarrow \mathrm{C}([0,0.5]) \) ist, also in sich selbst abbildet. Schaffst du es nun alleine, \( f \) mithilfe von \( g \) auszudrücken?