Berechnen Sie den Grenzwert lim (n→∞) an der Folge (an)n∈N mit:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n der Folge (a_n)n∈N mit:

a_n=1!⋅\( \begin{pmatrix} n+2\\n-1 \end{pmatrix} \) ⋅\( \frac{1}{n^4} \)
 \( \lim\limits_{n\to\infty} \)  a_n=

Comments

Was soll das 1! bedeuten?

Answer 1

Aloha :)

Verwende folgende Eigenschaft des Binomialkoeffizienten:\(\quad\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)

$$a_n=\binom{n+2}{n-1}\cdot\frac{1}{n^4}=\binom{n+2}{(n+2)-(n-1)}\cdot\frac{1}{n^4}=\binom{n+2}{3}\cdot\frac{1}{n^4}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n+2}{3}\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n^4}=\frac16\cdot\frac{n+2}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac1n$$$$\phantom{a_n}=\frac16\cdot\left(1+\frac2n\right)\cdot\left(1+\frac1n\right)\cdot\frac 1n\;\to\;\frac16\cdot1\cdot1\cdot0=0$$