Matrix: Bestimmung des Unterraums mit LGS

Question

Aufgabe:

A= $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$$

B= $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie die Dimension des Unterraums U, der alle Vektoren b ∈ R2 enthält, für die das LGS
Ax = b mindestens eine Lösung hat.
Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie der Unterraum U mit dem Bild von A zusammenhängt.

Problem/Ansatz:

Wie mache ich das am besten, habe echt lange viel rum probiert aber komme einfach auf nix richtiges. Das LGS ergibt bei mir absolut keinen Sinn.
Kann vielleicht jemand mal zeigen wie das aussieht, damit ich abgleichen kann.

Danke schon mal im Voraus :)

Comments

Zu bestimmen ist das Bild von A. Wie ds geht, wurde Dir schon in Deiner vorherigen Frage erklärt.

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Was hat es mit der Matrix B auf sich?

Answer 1

Aloha :)

Betrachte die Abbildung der beiden Vektoren \((0|0|\frac13)^T\) und \((0|1|-\frac13)^T\):

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & 1 & 3\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\\frac13\end{pmatrix}=\binom{0}{1}\quad;\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & 1 & 3\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac13\end{pmatrix}=\binom{1}{0}$$

Da die Abbildung linear ist, wird jeder Punkt \(\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\) von der Abbildung getroffen:$$\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(x\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac13\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\0\\\frac13\end{pmatrix}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}0\\x\\\frac{y-x}{3}\end{pmatrix}$$

Das Bild von \(A\) hat also die die Dimension \(2\).

Answer 2

Wenn A*x=b Lösungen hat, dann gibt es

Vektoren x∈R^2 die durch A*x auf b abgebildet werden.

Das b muss dann also aus dem Bild von A sein.

Da z.B. die ersten beiden Spalten von A linear unabhängig sind,

ist die Dim des Bildes größer oder gleich 2.

Andererseits ist das Bild ein Teilraum von R^2, also

dim ≤ 2. Somit ist die Antwort auf die Frage:

Die Dimension ist genau 2.