Wie viele Stellen werden benötigt, um die Zahl 188 im Binärsystem darzustellen?

Question

Wird eine natürliche Zahl vom Dezimalsystem in ein Zahlensystem mit der Basis b
umgerechnet, so lässt sich die Anzahl der benötigten Ziffern mit S = 1 + (log_b(y)]
( [ x ]…_ Gaußklammern, vgl. Band 1, Abschnitt 5.3) berechnen.
1) Wie viele Stellen werden benötigt, um die Zahl 188 im Binärsystem darzustellen?
2) Ermittle die größte und die kleinste Basis, bei der die Dezimalzahl 432 mit 3 Stellen
dargestellt wird.

Comments

Der Lösungsweg wurde doch gleich mitgeliefert...

---

Soweit zu Aufgabe 1).

---

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

---

@d: Was möchtest du damit sagen?

Answer 1

1) 2⁷ ist die größte Zweierpotenz unter 188. Also ist 7+1=8 die Anzahl der Stellen, die benötigt werden , um die Zahl 188 im Binärsystem darzustellen.

Answer 2

Aloha :)

Wir wandeln \(188\) in eine Binärzahl um:$$\begin{array}{c}188&\colon2&=&94 &\text{Rest:} & 0\\94&\colon2&=&47 &\text{Rest:} & 0\\47&\colon2&=&23 &\text{Rest:} & 1\\23 &\colon2&=&11 &\text{Rest:} & 1\\11&\colon2&=&5 &\text{Rest:} & 1\\5&\colon2&=&2 &\text{Rest:} & 1\\2&\colon2&=&1&\text{Rest:} & 0\\1&\colon2&=&0 &\text{Rest:} & 1\end{array}$$Jetzt einfach die Reste von unten nach oben zusammenfassen:$$188_{10}=1011\,1100_2$$

Wählen wir als Basis \(433\), gibt es "Ziffern" von \((0)\) bis \((432)\). Wir können dann die Zahl \(432\) mit den 3 "Ziffern" \((0)(0)(432)\) darstellen. Eine ähnliche Darstellung gäbe es in allen Basen größer als \(433\). Streng genommen gibt es also keine größte Basis.

Die Frage nach der kleinsten Basis \(b\) lässt sich beantworten. Die größte 3-stellige Zahl in der Basis \(b\) ist:$$m(b)=(b-1)\cdot b^0+(b-1)\cdot b^1+(b-1)\cdot b^2=b^3-1$$Wegen \(\sqrt[3]{432+1}\approx7,6\) brauchen wir zur Darstellung der Zahl \(432\) mit 3 Ziffern mindestens die Basis \(8\).

Answer 3

2) Ermittle die größte und die kleinste Basis, bei der die Dezimalzahl 432 mit 3 Stellen dargestellt wird.

Nach der Vorgabe beträgt die Anzahl \(S\) der benötigten Ziffern für die Darstellung einer Zahl \(y\) im Stellenwertsystem zur Basis \(b\): $$S = 1 + \left[\log_b\left(y\right)\right]$$ Mit \(S=3\) und \(y=432\) wird daraus: $$3 = 1 + \left[\log_b\left(432\right)\right]\\2 = \left[\log_b\left(432\right)\right]$$ Gesucht ist also das größte \(b\) mit $$\begin{aligned}2 &\le \log_b\left(432\right)\\b^2 &\le 432\\b &\le \sqrt{432} \\b &\le 20.78\dots\\ b &= 20\end{aligned}$$ Die Basis \(b=20\) ist also die größte Basis, in deren Stellenwertsystem die Darstellung der Dezimalzahl 432 drei Stellen benötigt.

Führt man diese Rechnung mit \(S=4\) durch und erhöht das so gefundene \(b\) um 1, so erhält man auch die kleinste Basis.