Berechne die Werte a, b und x

Question

Aufgabe:

Eine neue Maissorte, die eine maximale Höhe von 1,80m erreicht, wird in einer Versuchsreihe beobachtet. Zu Beginn der Messung ist die Pflanze 30 cm groß, nach einer Woche bereits 60cm. Das Pflanzenwachstum kann mithilfe der Funktion f mit

f(t) = a / e^ct + b modelliert werden

a) Berechne die Werte a, b und x

b) Gib an, zu welchem Zeitpunkt die Pflanze eine Höhe von 90cm erreicht.

Problem/Ansatz:

Ich habe wirklich keine Ahnung!

ich weiß das a = Startwert, in dem Fall 30cm

und b= Wachstumsfaktor, in dem Fall 2

und c = eigentlich die Asymptote (180??) ist.

Wenn ich das Einsetze, macht das aber keinen Sinn.

Daher bräuchte ich bitte Hilfe!

Comments

Pflanzenwachstum kann mithilfe der Funktion f mit f(t) = a / e^ct + b modelliert werden

Und wieso schreibst Du die Funktion falsch ab?

Answer 1

Es gelten folgende Gleichungen mit der Funktion \( f(t) = a e^{-ct} +b \) mit \( t \) in Wochen

$$ (1) \quad f(0) = a + b = 30 $$

$$ (2) \quad f(1) = a e^{-c} +b = 60 $$

Aus (1) und (2) folgt

$$ a = \frac{30}{e^{-c} -1} $$ und $$ b = 30 \left( 1 - \frac{1}{e^{-c} -1 } \right) $$

Mit diesen Werten für \( a \) und \( b \) in \( f(t) \) eingesetzt, kann man über die erste Ableitung von \( f \) nachweisen, das \( f' >  0 \) gilt, aber nur für \( c > 0 \) nach oben beschränkt ist.

Der Grenzwert ergibt sich aus

$$ \lim_{t\to\infty} f(t) = 30 - \frac{30}{e^{-c} - 1} \overset{!}{=} 180 $$

Und daraus \( c = \ln(5) - \ln(4) \)

Damit kann man nun auch \( a \)  und \( b \) ausrechnen.

Der Funktionsverlauf sieht dann so aus.

Comments

Und ich spendiere noch ein interaktives Desmos für die Wachstumsfunktion.

Aber Achtung! hier ist die Zeit in der Einheit [Tage] angegeben

https://www.desmos.com/calculator/cixmvmzbjp

die Stützstellen lassen sich verschieben ;-)

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Danke vielmals!!!

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Könntest du mir noch bitte erklären, wie aus

1 und 2 

a = 30/ e^-c - 1

folgt?

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(1) nach \( b \) auflösen und in (2) einsetzen und dann nach \( a \) auflösen.