Regel von Hospital anwenden mit
\( f(x) = x^{a}-a^{x} \) und \( g(x) = a^{x}-a^{a} \)
\(f'(x) = ax^{a-1} - a^x*log(a) \) und \( g'(x) = a^x*log(a) \)
\( \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{ax^{a-1} - a^x*log(a) }{a^x*log(a)} = \frac{ax^{a-1} }{a^x*log(a)} -1 = \frac{a^{1-x}x^{a-1} }{log(a)} -1 \)
wegen \( \lim \limits_{x \rightarrow a} {a^{1-x}x^{a-1} } = 1 \) folgt
\( \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{a^{x}-a^{a}} = \frac{1}{log(a)} -1 \) für a > 0 und a != 1
