f partiell differenzierbar, aber nicht stetig in (0,0)

Question

Aufgabe:

Funktion f: R^2 -> R ist definiert durch:

f(x,y) = { 1 wenn x∈Q oder y∈Q,

0 sonst}

Ich muss nun beweisen, dass f in (0,0) partiell differenzierbar, aber nicht stetig ist.

Answer 1

Zur partiellen Ableitung nach x in (0;0) betrachte

( f(0+h,0) - f(0,0) ) / h  = ( 1 - 1 ) /  h = 0

also auch der Grenzwert für h gegen 0 ist gleich 0

==>  f_x(0,0) = 0.

Die andere part. Abl. entsprechend.

Aber es ist etwa \(   \lim\limits_{n\to\infty} f (\frac{\sqrt{2}}{n};\frac{\sqrt{3}}{n})\)=0

also ungleich f(0;0)=1