Zeige, dass es kein Polynom mit f(φ)=0 gibt

Question

Aufgabe:

Sei φ: (x₁,x₂,...) → (x₂,x₃,....).

Zeige, dass es kein Polynom f∈ℂ[x]\{0} mit f(φ) = 0 gibt.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war die Darstellungsmatrix von φ zu bestimmen und dann mit dem charakteristischen Polynom und dem Satz von Cayley Hamilton irgendwie die Behauptung zu zeigen.

Aber dieser Ansatz scheint falsch zu sein und ich komme nicht weiter. Hat jemand hier einen besseren Ansatz?

Comments

Ist der Vektorraum \(K^{\mathbb{N}}\) mit \(K=\mathbb{R}\)

oder \(K=\mathbb{C}\)?

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Bildet φ den Vektorraum der reellen (komplexen ?) Folgen auf sich ab ?

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Sorry habs vergessen anzugeben: K = ℂ

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Habe dir eine Antwort geschrieben.

Answer 1

Für jedes \(i=1,2,...\) sei \(e_i\) die Folge \((\delta_{ik})_{k}\), wobei \(\delta\) das

Kronecker-Symbol ist. Ist nun \(f=\sum_{i=0}^n a_iX^i\) ein nichtkonstantes

Polynom mit \(a_n\neq 0\) und \(f(\varphi)=0\), also gleich dem Null-Endomorphismus,

dann gilt insbesondere \(0=(f(\varphi)(e_n))_1=a_n\), Widerspruch !