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Aufgabe:

Sei φ: (x1,x2,...) → (x2,x3,....).

Zeige, dass es kein Polynom f∈ℂ[x]\{0} mit f(φ) = 0 gibt.


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war die Darstellungsmatrix von φ zu bestimmen und dann mit dem charakteristischen Polynom und dem Satz von Cayley Hamilton irgendwie die Behauptung zu zeigen.

Aber dieser Ansatz scheint falsch zu sein und ich komme nicht weiter. Hat jemand hier einen besseren Ansatz?

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Ist der Vektorraum KNK^{\mathbb{N}} mit K=RK=\mathbb{R}

oder K=CK=\mathbb{C}?

Bildet φ den Vektorraum der reellen (komplexen ?) Folgen auf sich ab ?

Sorry habs vergessen anzugeben: K = ℂ

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Für jedes i=1,2,...i=1,2,... sei eie_i die Folge (δik)k(\delta_{ik})_{k}, wobei δ\delta das

Kronecker-Symbol ist. Ist nun f=i=0naiXif=\sum_{i=0}^n a_iX^i ein nichtkonstantes

Polynom mit an0a_n\neq 0 und f(φ)=0f(\varphi)=0, also gleich dem Null-Endomorphismus,

dann gilt insbesondere 0=(f(φ)(en))1=an0=(f(\varphi)(e_n))_1=a_n, Widerspruch !

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