Aufgabe:
Sei φ: (x1,x2,...) → (x2,x3,....).
Zeige, dass es kein Polynom f∈ℂ[x]\{0} mit f(φ) = 0 gibt.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz war die Darstellungsmatrix von φ zu bestimmen und dann mit dem charakteristischen Polynom und dem Satz von Cayley Hamilton irgendwie die Behauptung zu zeigen.
Aber dieser Ansatz scheint falsch zu sein und ich komme nicht weiter. Hat jemand hier einen besseren Ansatz?
Ist der Vektorraum KNK^{\mathbb{N}}KN mit K=RK=\mathbb{R}K=R
oder K=CK=\mathbb{C}K=C?
Bildet φ den Vektorraum der reellen (komplexen ?) Folgen auf sich ab ?
Sorry habs vergessen anzugeben: K = ℂ
Habe dir eine Antwort geschrieben.
Für jedes i=1,2,...i=1,2,...i=1,2,... sei eie_iei die Folge (δik)k(\delta_{ik})_{k}(δik)k, wobei δ\deltaδ das
Kronecker-Symbol ist. Ist nun f=∑i=0naiXif=\sum_{i=0}^n a_iX^if=∑i=0naiXi ein nichtkonstantes
Polynom mit an≠0a_n\neq 0an=0 und f(φ)=0f(\varphi)=0f(φ)=0, also gleich dem Null-Endomorphismus,
dann gilt insbesondere 0=(f(φ)(en))1=an0=(f(\varphi)(e_n))_1=a_n0=(f(φ)(en))1=an, Widerspruch !
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