Aufgabe:
Labortests auf Krankheiten kosten Zeit und Geld. Deshalb gibt es ein cleveres Verfahren, um die Anzahl der Tests zu reduzieren, einen sogenannten Gruppentest. Dabei wird die Blutprobe von mehreren Patienten vermischt und dieses Gemisch auf den Krankheitserreger (oder Antikörper) untersucht. Nur dann, wenn sich im Gemisch ein Erreger befindet, wird jede Probe des Gemisches nochmal einzeln untersucht. Im einfachsten Fall besteht eine Gruppe aus nur zwei Proben. Wenn p die Wahrscheinlichkeit einer Krankheit ist (d.h, p ist der Anteil der Kranken in der Gesamtbevölkerung), dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gemisch keinen Krankheitserreger enthält
(1-p)^2=q^2 , wobei die Abkürzung q=1-p benutzt wurde. Das ist auch gleichzeitig die W. dafür, dass nur ein Test nötig ist. Die Gegenwahrscheinlichkeit (im Gemisch ist ein Erreger und entsprechend drei Tests sind nötig), ist 1-q^2.
a) X sei die Zufallsgröße, die die Anzahl der nötigen Tests angibt. Wenn 5 % der Bevölkerung
krank sind, wie groß ist dann der Erwartungswert E(X)? Wie viele Untersuchungen wären für
2000 Patienten voraussichtlich nötig, wenn je zwei ihrer Blutproben gemischt werden?
b) Wenn jeweils n Proben zu einer Gruppe zusammengefasst werden, dann ist der Erwartungswert
der Probenanzahl E(x)=n+1-n-g". Weise dieses Ergebnis nach.
c) Da man bei n Patienten normalerweise n Tests machen müsste, ist die Ersparnis n-E(X). Die relative Ersparnis pro Patient ist
(n-E(X)):n = q^n - 1:n
Weise auch dieses Ergebnis nach. Offenbar
ist die Ersparnis pro Patient sowohl von der Krankheitswahrscheinlichkeit p=1-q als auch von der Gruppengröße abhängig. Dies wirft die Frage auf, welches die optimale Gruppengröße bei gegebenen p ist. Hier kann die Differentialrechnung wieder einmal weiterhelfen.
Problem/Ansatz:
Leider habe ich keine Ahnung was ich da machen muss. Wäre sehr erfreut über jede Hilfe!
