Volumen einer zerschnittenen Pyramide

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Pyramide wird so in zwei Teile zerlegt, dass die Schnittfläche von einer Grundlinie genau bis zur Mitte der gegenüberliegenden Seite verläuft. Man soll die Größe beider Hälften zueinander im Verhältnis darstellen.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt völlig der Ansatz. Wenn die Trennlinie horizontal verlaufen würde, könnte man die Aufgabe einfach über Strahlensätze und die Volumenformel einer Pyramide lösen, aber bei der Aufgabe fehlt mir der Ansatz. Vielen Dank im voraus!

Comments

Habt ihr im Unterricht das Spatprodukt behandelt oder eventuell auch die aus der Hesseschen Normalenform resultierende Abstandsformel?

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Das Spatprodukt ist mir ein Begriff, war aber nicht Gegenstand der Veranstaltung. LG

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Die Volumina oben $V_o$ zu unten $V_u$ verhalten sich wie $3\div 5$. Und wenn Dir die Volumenformel, die Fläche des Trapez, Sätze über änliche Dreiecke und Seitenhalbierende im Dreieck vertraut sind, sollte das lösbar sein.

Ich unterstelle, dass die Grundfläche der Pyramide mindestens rechteckig (quadratisch ist Ok) ist und die Spitze $S$ sich senkrecht oberhalb der Mitte $M$ der Grundfläche befindet.

Das erste Ziel ist es, die Höhe der Spitze $S$ über der Schnittfläche zu bereche. Mit dem Ziel, das Volumen $V_o$ des oberen Pyramidenteils zu berechnen. Dazu habe ich hier eine Schnitt durch die Pyramide gezeichnet, der senkrecht auf der Grundfläche steht.

Die Schnittlinie ist die rot gestrichelte Gerade durch $M_1M_b$. Die gesuchte Höhe $h'= |FS|$ ist schwarz markiert. Die Höhe der Pyramide sei $h$ und die Länge der Kante, die parallel zur Zeichenebene verläuft, sei $a$.

Zunächst soll gezeigt werden, dass die farbig markierten Dreiecke $\triangle MM_bM_1$ (grün) und $\triangle MSF$ (rosa) änlich sind. Die beiden rechtwinkligen Dreiecke $\triangle FZS$ und $\triangle MM_bZ$ sind offensichtlich ähnlich, da sie bei $Z$ einen gemeinsamen Winkel haben.

Der Punkt $Z$ ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck $\triangle M_aM_bS$ und teilt folglich die Strecken $|M_bM_1|$ und $|SM|=h$ im Verhältnis $2\div 1$. Daraus folgt, dass es sich bei den Seiten $|M_bM_1|$ und $h$ um die um den selben(!) Faktor $3/2$ verlängerten Hypotenusen der beiden oben erwähnten rechtwinkligen Dreiecke handelt.

Und daraus folgt, dass $\triangle MM_bM_1$ und $\triangle MSF$ änlich sind!

Die Strecke $|M_bM_1|$ nenne ich $x$ (rot), dann gilt$$\frac{h'}{h} = \frac{a/2}{x} \implies h' = \frac{ah}{2x}$$Die Schnittfläche ist ein Trapez und seine Fläche ist$$F_T= \frac 12 \left(\frac b2 + b\right)x = \frac34 bx$$wenn $b$ die Kantenlänge der Grundfläche der Pyramide ist, die senkrecht zur Zeichenebene verläuft. Beachte dass $x$ auch die Höhe des Trapez ist!

Und somit ist das Volumen $V_o$ des oberen Teils$$V_o = \frac 13 h' F_T = \frac 13 \cdot \frac{ah}{2x} \cdot \frac34 bx=\frac 18 hab$$Jetzt ziehe diesen Wert vom Gesamtvoluimen $hab/3$ ab und setze beide in's Verhältnis.

Gruß Werner

Comments

Vielleicht ist es vom Verständnis her einfacher, nur die Änlichkeit der beiden rechtwinkligen Dreiecke $\triangle MM_bZ$ und $\triangle FZS$ zu betrachten. Damit gilt$$\frac {h'}{|SZ|} = \frac{a/2}{|M_bZ|}$$Nun ist aber wegen dem Teilverhälnis der Seitenhalbierenden$$|SZ| = \frac 23h, \quad |M_bZ| = \frac 23 x$$oben einsetzen gibt dann das gesuchte Verhältnis$$\begin{aligned}\frac {h'}{\frac 23h}& = \frac{a/2}{\frac 23 x} &&|\,\cdot \frac 23\\ \frac{h'}{h} &= \frac{a/2}{x}\end{aligned}$$

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Vielen lieben Dank! Sehr ausführlich erklärt. Leider habe ich den Zusammenhang nicht ganz verstanden, wieso es sich bei den Seiten M_bM₁ und h um die um den Faktor 3/2 verlängerten Hypotenusen handelt.

Trotzdem eine sehr anschauliche Lösung.

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Leider habe ich den Zusammenhang nicht ganz verstanden, wieso es sich bei den Seiten M_bM₁ und h um die um den Faktor 3/2 verlängerten Hypotenusen handelt.

Die Seitenhalbierenden im Dreieck teilen sich gegenseitig im Verhältnis $2\div 1$. Also ist$$\frac{|SZ|}{|ZM|} = \frac 21 \implies |ZM| = \frac{1}{2}|SZ|\\ \implies |SM| = |SZ| + |ZM| = |SZ| + \frac{1}{2}|SZ| = \frac{3}{2}|SZ|$$genau das gleiche kannst Du für $|M_bZ|$ und $|ZM_1|$ machen.

Lies bitte auch den Kommentar, den ich angehängt habe.

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Alles Verstanden. War sehr hilfreich, vielen Dank!

Answer 2

Hallo

ich würde das untere Teil berechnen als Walmdach: ein dreieckiges Prisma + 2 Pyramiden oder das längere Prisma . 2 gleiche Pyramiden,

siehe auch https://www.helpster.de/das-volumen-eines-walmdachs-berechnen_221920

sonst frag nochmal nach,

Gruß lul

Comments

Dabei trägt es enorm zur Rechenvereinfachung bei, wenn man berücksichtigt, dass eine Scherung das gesuchte Verhältnis nicht ändert; ein günstiger Platz für die Pyramidenspitze ist über der Mitte der langen Grundseite des roten Trapezes.
[ Kontrollergebnis : V_oben / V_unten = 0,6 ]

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Die Formel für ein Walmdach (Keil) habe ich tatsächlich in meiner Formelsammlung stehen. Wie gehe ich konkret bei der Berechnung vor? Kann mir die Aufteilung in der Pyramide nicht ganz vorstellen. LG

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Das Walmdach ist in deiner Skizze doch praktisch schon zu sehen?  es ist das Teil unten: First 1/2a ,Traufe a= Seitenlänge im Grundriss

das Dreieck vorne unter der roten Linie ist die schräge vordere Fläche.

aber du hast ja schon nette andere Lösung,

Gruß lul