Einheiten in einem Ring bestimmen (komplexe Zahlen)

Question

Gegeben ist ℤ[\( \sqrt{5} \)i] = {x+y\( \sqrt{5} \)i: x,y ∈ ℤ}.

Davon sollen sie Einheiten bestimmt werden.

 Über Hilfe freue ich mich...

Answer 1

Die (algebraische) Norm von \(z=x+y\sqrt{5}i\)

ist \(N(z)=x^2+5y^2\). \(z\) ist genau dann eine Einheit,

wenn \(N(z)=\pm 1\) ist. Das liegt an der Multiplikativität von \(N\).

Mach dir also Gedanken über die ganzzahligen Lösungen von

\(x^2+5y^2=\pm 1\).

Comments

Die Norm haben wir leider noch nicht eingeführt und kann ich dementsprechend nicht verwenden. Aber trotzdem vielen Dank :)

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Die Norm haben wir leider noch nicht eingeführt und kann ich dementsprechend nicht verwenden. Aber trotzdem vielen Dank :)

Natürlich kannst du sie verwenden. Warum solltest du das nicht können?

Du schreibst hin: Sei \( N(x+y√(5)i) ~{:=}~ x^2 + 5y^2 \)

Rechnest kurz nach, dass

\( N((x+y\sqrt{5}i) \cdot (u+v\sqrt{5}i)) = N(x+y\sqrt{5}i) \cdot N(u+v\sqrt{5}i) \)

Schreibst hin, dass offensichtlich N(1) = 1 ist

Folgerst dann dass \( N\left[\mathbb Z[\sqrt{5}i]^*\right] \subseteq \{ \pm 1 \} \), da die Gleichung \( a\cdot b = 1 \) in \( \mathbb Z \) nur die Lösungen (a,b)=(1,1) und (a,b)=(-1,-1) hat.

Und schon hast du alles beweisen und kannst es verwenden.

Answer 2

Einheiten in einem Ring sind

Elemente, die ein multiplikatives Inverses haben.

Der Ansatz wäre also Herauszufinden für welche

x,y ∈ ℤ es x,y ∈ ℤ gibt mit

\( (x+y\sqrt{5}i) \cdot ( a+b\sqrt{5}i )  = 1 \)

Ausmultiplizieren und Vergleich mit 1 = 1+0i gibt

ax-5by=1   und  bx+ay=0

Comments

Sorry, das hatte ich falsch eingeben. Ist natürlich dahinter.

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Die Gleichung war mir auch bereits klar, aber wie gehe ich dann weiter vor. Rechne ich mit den Beträgen? Weil auf ein "Ergebnis" komme ich ja so noch nicht (oder ich kann es nur nicht sehen).

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Oder ist es so einfach, und es müssen einfach x=1, a=1 und b,y=0 sein und eine weitere Einheit ist x=-1, a=-1 und b,y=0?

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Da die a,b,x,y aus ℤ sind kann man sicher irgendwie

über Teilbarkeit argumentieren.

z.B. folgt aus ax-5by=1 ja ggT(x,5y) = 1.

Oder wenn man erst mal allgemein rechnet

Das Inverse von \(x+y\sqrt{5}i \) ist

\(   \frac {x}{x^2+5y^2}  - \frac {y}{x^2+5y^2}\sqrt{5}i  \).

Und die beiden Brüche müssen ganzzahlig werden.

Vielleicht geht so was ???