Berechnen Sie für alle a ∈ ℝ das Kurvenintegral \int _{\vec{\gamma}} \vec{v} · \overrightarrow{d s} .

Question

Aufgabe:

Wir betrachten folgendes Vektorfeld:
\( \vec{v}(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+9 y^{2}}\left(\begin{array}{c}y \\ -x \\ 2 z\end{array}\right), \quad(x, y, z) \in D:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+9 y^{2}>0\right\} \)

und folgende Kurve:
\( \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}3 \cos t \\ \sin t \\ a t\end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi] . \)

\( a \in \mathbb{R} \) ist ein Parameter.

1.) Berechnen Sie für alle \( a \in \mathbb{R} \) das Kurvenintegral \( \int \limits_{\vec{\gamma}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{d s} \).

2.) Was können Sie hieraus über die Existenz eines (globalen, d.h. auf \( D \) definierten) Potentials für das Vektorfeld \( \vec{v} \) schließen? Betrachten Sie dazu den Spezialfall \( a=0 \).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Wäre für jeden Tipp dankbar

Comments

Der Ansatz ist die Definition des Kurvenintegrals. Was hindert Dich, diese Definition nachzuschlagen?

Answer 1

\( \int \limits_{\vec{\gamma}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{d s} = \int \limits_{0}^{2π} v_x(\gamma(t))*\gamma_x'(t) dt + \int \limits_{0}^{2π} v_y(\gamma(t))*\gamma_y'(t) dt + \int \limits_{0}^{2π} v_z(\gamma(t))*\gamma_z'(t) dt = \)

\( = \int \limits_{0}^{2π}  \frac{sin(t)}{9cos^2(t)+9sin^2(t)}*-3sin(t) + \frac{-3cos(t)}{9cos^2(t)+9sin^2(t)}*cos(t) + \frac{2at}{9cos^2(t)+9sin^2(t)}*a = \)

\( = \int \limits_{0}^{2π}  \frac{sin(t)}{9}*-3sin(t) + \frac{-3cos(t)}{9}*cos(t) + \frac{2at}{9}*a = \)

\( = \int \limits_{0}^{2π}  \frac{-sin^2(t)}{3} + \frac{-cos^2(t)}{3} + \frac{2a^2t}{9} = \)

\( = \int \limits_{0}^{2π}  -\frac{1}{3} + \frac{2a^2t}{9} = \frac{2{\pi}*(2{\pi}a^2-3)}{9} \)

Für a = 0 ist das Kurvenintegral nicht wirbelfrei und besitzt deshalb kein Potential.

Comments

Die Formulierung des Schlusssatzes ist falsch:

Wenn das Kurvenintegral (allgemein) wegunabhängig wäre, dann würde das Feld ein Potential besitzen.

Der Fall a=0 bedeutet eine geschlossene Kurve. Wenn das Feld ein Potential besäße, wäre der Wert dieses Kurvenintegrals gleich 0. Daher kein Potential (sofern die Rechnung stimmt).

---

Also ich habe als Ergebnis des Kurvenintegrals (4/9)*Pi^2*a^2 - (2Pi/3)

Den Fall a=0 verstehe ich aber nicht.. Wieso bedeutet das in diesem Zusammenhang eine geschlossene Kurve?

---

Was ist \(\gamma(0)\)? Was ist \(\gamma(2\pi)\)?

---

@miratro:

\( \frac{4}{9} \pi^2*a^2 - \frac{2\pi}{3} =  \frac{2{\pi}*(2{\pi}a^2-3)}{9} \)

und \( \gamma(t) \) ist geschlossen, falls \( \gamma(0) = \gamma(2\pi) \), das gilt für a = 0.

---

Für a = 0, beides

3

0

0

Was mir das sagen soll, kann ich nicht nachvollziehen.

Ich hätte jetzt vermutet, dass ein Potential existiert, da für a= 0 das Integral - 2Pi / 3 ergibt. Also wegunabhängig -> konstant für alle Kurven die den gleichen Start- und Endpunkt haben