Äquivalenzrelation auf R

Question

Aufgabe:

x Relation zu y := x³-y³ = 3x-3y       x und y aus R

Wir sollen zeigen, dass es um eine Äquivalenzrelation handelt

Problem/Ansatz:

Reflexiv: x ∈ R, zu zeigen:  x Relation x

Also x³-x³ = 3x-3x => Beide Seiten 0, also Äquivalent: x steht zu sich selbst in Relation

Symmetrie: y steht in relation zu x, x und y aus R

also y^3-x^3=3y-3x

Ab hier bin ich mir unsicher.

Ich vermute, wir können auf beiden Seiten (-) rausklammern und dann hätten wir die Anfangsgleichung, die laut Annahme "richtig" ist

Comments

Ja, das stimmt so

Answer 1

transitiv:

Also: wenn x R y  und  y R z  dann   x R z

Kann man so zeigen :

x R y und y R z

==>   x³-y³ = 3x-3y  und y³-z³ = 3y-3z

==>  x³-y³ = 3x-3y und y³= 3y-3z  + z³

einsetzen :

==>   x³- (3y-3z + z³)   = 3x-3y

==>  x³- 3y+3z -z³  = 3x-3y  | +3y - 3z

==>  x³  -z³  = 3x-3y +3y - 3z =  3x-3z

==>    x R z .              q.e.d.

Answer 2

Ich würde die Definition der Relation umformulieren:

Sei die Funktion \(f\) gegeben durch \(f(x)=x^3-3x\).

Dann bedeutet \(x R y\) nichts anderes als \(f(x)=f(y)\) und

da "\(=\)" eine Äquivalenzrelation ist,

gilt dies automatisch auch für "\(R\)".