Wieso kann ich den Strahlensatz nicht wie beschrieben anwenden

Question

Aufgabe Strahlensatz:

Mich interessiert warum (so habe ich es gelernt jedenfalls) x3/x2 ungleich y3/y2 ist.

In dem Beispiel: (b2*1,3)/(b2*1,5)=/(a1*1,3)/(a1*1,5).

Immerhin sind die sich entsprechenden Seiten immer um den selben Faktor vergrößert. Heisst, wenn x2 um das 2 fache größer ist als x1, muss auch y2 zweifachen so groß sein wie y1. Dann kann ich doch auch y3/y2=x3/x2.

Die Lösung wäre ja dann in meinem Beispiel nach wegstreichen der Faktoren: 1,3/1,5=1,3/1,5

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Die Stahlensatzaussage ist auch in diesem Fall gültig, denn die Figur geht durch zentrisches Strecken aus dem Dreieck ABC hervor. Damit sind BC, HE und GF parallel.

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Hm. Ja das dachte ich mir auch. In meinem Buch steht aber das dass nicht möglich ist. Ich werde mir nochmal die Aussage im Buch dazu durchlesen und hier nochmal reinschreiben.

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Okay, dann würde mich mal die Begründung dafür interessieren. Die Strahlensatzaussage ist in diesem Beispiel unabhängig von \(a_1\) und ebenfalls unabhängig von \(b_2\), aber das hast du ja schon selbst herausgefunden.

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Hier einmal die Aussage des Buches:

Welche Bedingung müsste erfüllt sei, damit die (mit den Bezeichnungen aus Abb. 2.6) falsche (!) Gleichung

\( \frac{y_{3}}{y_{2}}=\frac{x_{3}}{x_{2}} \)

die Form der eben abgeleiteten richtigen (!) Gleichung

\( \frac{y_{3}}{y_{2}+y_{1}}=\frac{x_{3}}{x_{2}+x_{1}} \)

annimmt?

Damit ist eindeutig gezeigt, dass sich der erste Strahlensatz nur dann in verkürzter Form anwenden lässt, wenn sich die Betrachtung auf zwei Parallelen beschränkt!

Answer 1

Mich interessiert warum (so habe ich es gelernt jedenfalls) x3/x2 ungleich y3/y2 ist.

Da in deiner Zeichnung weder x- noch y-Werte vorkommen und du uns nicht sagst, wofür du x und wofür du y verwendest, können wir dir nicht sachgerecht antworten.

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Hallo!

b2 steht für x und a1 für y. b2*1,5 sei einfach die 1,5 fache Länge von b2 und a*1,5 die 1,5 fache von a1.

a1 und b2 sind einfach die Seitenlängen des Dreiecks.

Answer 2

Stell mir mal ein Foto der Buchseite zur Verfügung. Vermutlich bezieht sich das irgendwie auf den 2. Strahlensatz.

Auf jedenfall scheinst du es missverstanden zu haben was im Buch steht oder im Buch steht es schlichtweg falsch drin. Letzteres kann ich mir aber nicht vorstellen.

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Und als Lösung zu dieser Frage in Übung 2.3 steht hinten: ,,Beide Gleichungen können nur dann erfüllt sein, wenn x1 und y1 den Wert null haben. Das entspricht aber der Tatsache, dass der Schnittpunkt S der Strahlen erfasst wird und man dann eigentlich doch wieder nur zwei Parallelen betrachtet."

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Und als Lösung zu dieser Frage in Übung 2.3 steht hinten: ,,Beide Gleichungen können nur dann erfüllt sein, wenn x1 und y1 den Wert null haben. Das entspricht aber der Tatsache, dass der Schnittpunkt S der Strahlen erfasst wird und man dann eigentlich doch wieder nur zwei Parallelen betrachtet."

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Du hast die Aufgabe falsch wiedergegeben. Dort steht welche Bedingung müsste erfüllt sein, damit

y3 / y2 = x3 / x2 nicht gilt

wohl aber die Gleichung

y3 / (y2 + y1) = x3 / (x2 + x1).

Die Bedingung wäre, dass p1 nicht parallel zu p2 und p3 ist.

Aber so ganz richtig finde ich die Schlussfolgerung im Buch nicht.

Man kann den Strahlensatz auch anwenden, wenn man mehr als 2 Parallele betrachtet.

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Aber wieso schreibt der Autor dann ,,falsche Gleichung". Unter der Übung rechts, steht ja dann auch: Der Strahlensatz lässt sich also bei 3 Parallelen nicht verkürzt angeben. Für mich wäre x3/x2 = y3/y2 die verkürzte Form von: x1+x2+x3/x1+x2= y1+y2+y3/y1+y2. Und in der Lösung im Buch steht auch nicht das was sie gerade geschrieben haben mit den Paralleln, sondern das x1 und y1 gleich null sind. Na ja. Ich werde auf jeden Fall es erstmal so annehemen das x3/x2 =y3/y2 ist. Und bestätige mir das selber nochmal durch eine Aufgabe. Vielen Dank für die Hilfe!

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Hm wenn x1 = y1 = 0 gilt und die Gleichung

y3 / (y2 + y1) = x3 / (x2 + x1)

gilt, dann gilt auch

y3 / (y2 + 0) = x3 / (x2 + 0) = y3 / y2 = x3 / x2

und dann gerade wäre die erste Gleichung nicht falsch.

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Auf diesen Fall lässt sich der eben formulierte Satz nun nicht erweitern. So stehen z. B. \( x \) und \( x_{2} \) nicht im gleichen Verhältnis wie \( y_{3} \) und \( y_{2} \). Dies lässt sich durch die geschickte Umformung einer Verhältnisgleichung zeigen, in der alle Abschnitte am Punkt \( S \) beginnen und die daher sicherlich richtig.

Ausgangspunkt dieser Überlegung ist, dass die beiden ins Verhältnis gesetzten Strecken von \( S \) bis \( \mathrm{p}_{2} \) bzw. \( \mathrm{p}_{3} \) verlaufen. Formuliert man die entsprechenden Summen mit den Bezeichnungen aus Abb. 2.6, so folgt:

\( \frac{y_{3}+y_{2}+y_{1}}{y_{2}+y_{1}}=\frac{x_{3}+x_{2}+x_{1}}{x_{2}+x_{1}} \)

Also ich habe nochmal nachgeschaut. Bei dem markierten Teil schreibt der Lehrer eindeutig das x3/x2, nicht dasselbe ist wie y3/y2. Kennen sie noch eine Quelle von der ich mir den gegenteiligen Beweis holen kann? Also ich habe es nochmal zeichnerisch nachgeprüft, hier scheint x3/x2=y3/y2 zu sein. Aber es könnten ja auch minimalste Abweichungen vorhanden sein, weshalb ich es nur als richtig empfinde, weil ich es nicht genau erkennen kann.

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Ich schreibe die gleich mal auf.

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Der erste Teil ist ja bekannt wenn p1 parallel zu p2 ist gilt

(x1 + x2) / x1 = (y1 + y2) / y1
1 + x2 / x1 = 1 + y2 / y1
x2 / x1 = y2 / y1 = q

Ich habe dieses Quotenten mal q genannt damit ich den gleich noch weiter verwenden kann

Wenn jetzt auch p1 parallel zu p3 ist gilt weiterhin

(x1 + x2 + x3) / x1 = (y1 + y2 + y3) / y1
x1 / x1 + x2 / x1 + x3 / x1 = y1 / y1 + y2 / y1 + y3 / y1
1 + x2 / x1 + x3 / x1 = 1 + y2 / y1 + y3 / y1
1 + q + x3 / x1 = 1 + q + y3 / y1
x3 / x1 = y3 / y1
x3 / x1 * 1/q = x3 / y1 * 1/q
x3 / x1 * x1 / x2 = y3 / y1 * y1 / y2
x3 / x2 = y3 / y2

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Danke für die Mühe! Habs auch nochmal versucht mit x1 und x2 im Nenner zu beweisen.

Text erkannt:

\( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{y_{1}+y_{2}} \)
\( \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}+x_{2}}+\frac{x_{3}}{x_{1}+x_{2}}=\frac{y_{1}+y_{2}}{y_{1}+y_{2}}+\frac{y_{3}}{y_{1}+y_{2}} \)
\( \frac{x_{3}}{x_{1}+x_{2}}=\frac{y_{3}}{y_{1}+y_{2}} \)
\( \frac{x_{1} \cdot P}{x_{1}+\left(x_{1} \cdot k\right)}=\frac{y_{1} \cdot P}{y_{1}+\left(y_{1} \cdot k\right)} \)
\( \frac{x_{1} \cdot \rho}{x_{1}(1+k)}=\frac{y_{1} \rho}{y_{2}(1+k)} \)
\( x_{1} \rho \cdot \frac{1}{x_{1}(1+k)}=\frac{y_{1} \cdot \rho}{y_{1}(1+x)} \quad \mid y_{1}(1+k \)
\( x_{1} \cdot \rho \cdot \frac{y_{1}(1+x)}{x_{1}(1+x)}=y_{1} \cdot \rho \quad \quad \frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}} \)
\( x_{1} \cdot \rho \frac{y_{2}}{x_{2}}=y_{1} \cdot \rho \)
\( x_{1} \cdot \rho \cdot y_{2}=y_{1} \cdot \rho \cdot x_{2} \quad 1: x_{2}: y_{2} \)
\( \frac{x_{1} \cdot \rho}{x_{2}}=\frac{y_{1} \cdot \rho}{y_{2}} \rightarrow\left(\frac{x_{3}}{x_{2}}=\frac{y_{3}}{y_{2}}\right) \)

Sehr komisch, dass ein Mathe Lehrer das scheinbar nicht gewusst hat, dass dieses Verhältnis gilt.

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Wundert auch etwas, vor allem weil das ja irgendwie schon ein Buch sein soll. Also ich habe auch von Lehrern viel Müll in der Hand gehabt, aber das sind dann meist nur irgendwelche zusammengebastelten Aufgaben.

Answer 3

Hallo,

Hallo, dankeschön! Hier einmal die Aussage des Buches https://ibb.co/jM0hH6v

Meiner Meinung nach ist die Aussage im Buch falsch.

y3/y2=x3/x2 gilt, da die Geraden p1, p2 und p3 parallel sind.

Man kann die y-Gerade ja parallel verschieben, sodass x2 und y2 am gleichen Punkt beginnen und hat dann die typische Strahlensatzfigur.

:-)