Wie ermittelt man extrema?

Question

Aufgabe:

geben die Funktion: f : ℝ^2 → ℝ, f(x,y) = e^x (x+y^2 +2y)

Art und Lage der relativen extrama von f angeben

Problem/Ansatz:

Welche Schritte sind vorzugehen?

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extrema der Funktion$$f(x;y)=e^x(x+y^2+2y)$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{e^x(x+y^2+2y)+e^x}{e^x(2y+2)}=\binom{xe^x+(y+1)^2e^x}{2e^x(y+1)}$$Wegen \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) fordert die zweite Komonente, dass \((y=-1)\) gelten muss. In diesem Fall lautet dann die erste Komponente \(x\cdot e^x\). Die verschwindet nur für \(x=0\). Damit haben wir einen Kandidaten für ein Extremum gefunden:$$P(0;-1)$$

Wir prüfen den Kandidaten mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}e^x(x+y^2+2y+2) & 2e^x(y+1)\\2e^x(y+1) & 2e^x\end{pmatrix}\implies H(0;-1)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$$Da die Hesse-Matrix für den Kandidaten Diagonalgestalt hat, stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen. Sie sind beide positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist. Daher liegt bei Punkt \(P\) ein lokales Minimum vor:$$f(0;-1)=-1\quad\text{ist lokales Minimum}$$

Answer 2

Hallo

Steht das nicht in deinem Skript oder deiner Mitschrift?

bilde grad(f(x,y))=0 das ergibt die kritischen Stellen, die  Hessematrix die Art der Stelle.

Gruß lu

Comments

Kontrollergebnis von meinem Freund Wolfram

Answer 3

Du leitest getrennt nach
fx´  = e^(x) + e^(x)*(y^2 + 2*y + x)
und
fy´ = e^(x)*(2*y + 2) ab.
Dann berechnest du
fx´ = 0, x
x = - y^2 - 2*y - 1
dann x in fy´ einsetzen
fy´= 0, y
y = -1
dann y einsetzen
x = 0
( 0 | -1 )