Alle Lösungen von z für z2=-z(konjugiert)

Question

Aufgabe:

Gib alle Lösungen für z in Polarform an.

z²=-z(konjugiert)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Gleichung erst einmal in die kartesische Form gebracht:

a²+2abi-b²=-a+bi

Jetzt wusste ich nicht weiter. Ich habe jedoch die Lösungen und in der Lösung wurde jetzt ein Gleichungssystem aufgestellt mit:

a²-b²⁼-a

2ab=b

Das konnte ich natürlich lösen aber ich verstehe nicht, wieso aus einer Gleichung einfach 2 gemacht werden. Kann mir das einer erklären?

Answer 1

Wenn die komplexen Zahlen a^2+2abi-b^2 und -a+bi gleich sein sollen, müssen ihre Realteile (a^2-b^b und -a) gleich sein, und es müssen ihre Imaginärteile (2ab und b) ebenfalls gleich sein.

Answer 2

a^2 + 2abi - b^2 = -a + bi

Zwei Komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie im Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Also setzen wir die Real- und die Imaginärteile gleich.

a^2 - b^2 = -a für den Realteil
2ab = b für den Imaginärteil

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte 4 Lösungen

z = 0 + 0·i
z = -1 + 0·i
z = 1/2 + √3/2·i
z = 1/2 - √3/2·i

Answer 3

Gib alle Lösungen für z in Polarform an.

Sei \(z=re^{i\varphi}\). Dann bedeutet \(z^2=-\bar{z}\) dasselbe wie

\(r^2e^{i\cdot 2\varphi}=-re^{-i\varphi}\), also

\(r^2=r\) und \(3\varphi-\pi\in \{0,2\pi,4\pi\}\), d.h.

\(\varphi\in \{-\pi/3,\; \pi/3,\; \pi\}\)

Damit ergeben sich die vier Lösungen

\(z=0,\; z=-1,\; z=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \; z=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\).

Hier noch als Zusatz eine Lösung für Einheitswurzel-Fans.

\(z=0\) ist trivialerweise eine Lösung. Für \(z\neq 0\) folgt aus

\(z^2=-\overline{z}\quad(*) \) die Betragsgleichung \(|z|^2=|-1|\cdot |\overline{z}|=|z|\), also

\(|z|=1\). Multiplikation von \((*)\) mit \(z\) liefert

\(z^3=-z\overline{z}=-|z|^2=-1\), daher

\((-z)^3=1\), d.h. \(-z\) ist eine 3-te Einheitswurzel, also

\(=1\) oder \(=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) oder \(=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) ...