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Aufgabe:

Gib alle Lösungen von z an

z7=(1/z(konjugiert))

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal so angefangen:

z7*z‾=1

r8*(cos(6α)+isin(6α)=1

Jetzt Realteil und Imaginärteil gleichgesetzt:

r8(cos(6α))=1

r8(sin(6α))=0

Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter. Waren die Schritte richtig bisher? Und wie gehts weiter?

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Alternativ: z7·z = 1 ⇔ z6·|z|2 = 1 ⇔ z6 = 1 ⇔ (z2 - 1)·(z2 + z + 1)·(z2 - z + 1) = 0.

Danke aber wieso ist:

z6·|z|2 = 1 ⇔ z6 = 1

Wo sind die |z|2 ?

Wende auf deine Gleichung die Betragsfunktion an und stelle fest, dass |z|8 = 1 ist.
Wegen |z| ∈ ℝ und |z| > 0 muss |z| = 1 und damit auch |z|2 = 1 sein.

2 Antworten

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Hallo

teile durch z dann hast du z^6=1/r^2=e2πi/r^2 und die Lösungen sind leicht zu finden?

lul

Avatar von 108 k 🚀
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Zeige zunächst \(|z|=1\). Dann gilt \(z^6=\frac{1}{z\overline{z}}=\frac{1}{|z|^2}=1\).

Die Lösungen sind gerade die 6-ten Einheitswurzeln.

Avatar von 29 k

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