Gib alle Lösungen für z in Polarform an.
Sei \(z=re^{i\varphi}\). Dann bedeutet \(z^2=-\bar{z}\) dasselbe wie
\(r^2e^{i\cdot 2\varphi}=-re^{-i\varphi}\), also
\(r^2=r\) und \(3\varphi-\pi\in \{0,2\pi,4\pi\}\), d.h.
\(\varphi\in \{-\pi/3,\; \pi/3,\; \pi\}\)
Damit ergeben sich die vier Lösungen
\(z=0,\; z=-1,\; z=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \; z=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\).
Hier noch als Zusatz eine Lösung für Einheitswurzel-Fans.
\(z=0\) ist trivialerweise eine Lösung. Für \(z\neq 0\) folgt aus
\(z^2=-\overline{z}\quad(*) \) die Betragsgleichung \(|z|^2=|-1|\cdot |\overline{z}|=|z|\), also
\(|z|=1\). Multiplikation von \((*)\) mit \(z\) liefert
\(z^3=-z\overline{z}=-|z|^2=-1\), daher
\((-z)^3=1\), d.h. \(-z\) ist eine 3-te Einheitswurzel, also
\(=1\) oder \(=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) oder \(=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) ...