Gib alle Lösungen von z an: z7=(1/z(konjugiert))

Question

Aufgabe:

Gib alle Lösungen von z an

z⁷=(1/z(konjugiert))

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal so angefangen:

z⁷*z‾=1

r⁸*(cos(6α)+isin(6α)=1

Jetzt Realteil und Imaginärteil gleichgesetzt:

r⁸(cos(6α))=1

r⁸(sin(6α))=0

Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter. Waren die Schritte richtig bisher? Und wie gehts weiter?

Comments

Alternativ: z⁷·z = 1 ⇔ z⁶·|z|² = 1 ⇔ z⁶ = 1 ⇔ (z² - 1)·(z² + z + 1)·(z² - z + 1) = 0.

---

Danke aber wieso ist:

z6·|z|2 = 1 ⇔ z6 = 1

Wo sind die |z|2 ?

---

Wende auf deine Gleichung die Betragsfunktion an und stelle fest, dass |z|⁸ = 1 ist.
Wegen |z| ∈ ℝ und |z| > 0 muss |z| = 1 und damit auch |z|² = 1 sein.

Answer 1

Hallo

teile durch z dann hast du z^6=1/r^2=e^2πi/r^2 und die Lösungen sind leicht zu finden?

lul

Answer 2

Zeige zunächst \(|z|=1\). Dann gilt \(z^6=\frac{1}{z\overline{z}}=\frac{1}{|z|^2}=1\).

Die Lösungen sind gerade die 6-ten Einheitswurzeln.