Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen \( f: D \rightarrow \mathbb{R}^{3}, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit

\( f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{1-r^{2}}}(x, y, z)^{T} \text { mit } D:=\left\{(x, y, z)^{T} \mid r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}, \)

Problem/Ansatz:

diese Frage verwirrt mich ein bisschen. Ich verstehe nicht genau, was ich rechnen soll! Z.B. was soll ich anstaat r^2 schreiben oder was ist genau (x,y,z)?!

Wenm Sie mir den Rechenweg zeigen, werde ich sehr dankbar. Ich hab teil b geschafft aber teil a verstehe ich nicht!

Comments

Ich verstehe nicht genau, was ich rechnen soll

Das steht im Titel?

Wobei unklar ist, was Du unter Teil a und b verstehst.

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Ach wirklich!!!???? Das hab ich nicht gesehen  : |

Answer 1

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix enthät die Gradienten der Komponentenfunktion als Zeilenvektoren.

Wir rechnen das für die erste Koordinatenfunktion ausführlich durch:$$f_1(x;y;z)=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\cdot x$$Die partielle Ableitung \(\frac{\partial f_1}{\partial x}\) bestimmen wir mit der Produktregel:$$\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\right)\cdot x+\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}x}_{=1}$$Für den linken Summanden verwenden wir die Kettenregel$$\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\right)\cdot\frac{\partial r}{\partial x}\cdot x+\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$$Mit \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) bekommen wir dann:$$\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{r}{(1-r^2)^{3/2}}\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot x+\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}=\frac{x^2}{(1-r^2)^{3/2}}+\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$$$$\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{x^2+1-r^2}{(1-r^2)^{3/2}}=\frac{1-y^2-z^2}{(1-r^2)^{3/2}}$$

Die partiellen Ableitungen nach \(y\) und nach \(z\) sind einfacher:$$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}}\right)=\frac{x\cdot(-2y)}{-2(1-x^2-y^2-z^2)^{3/2}}=\frac{xy}{(1-r^2)^{3/2}}$$$$\frac{\partial f_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}}\right)=\frac{x\cdot(-2z)}{-2(1-x^2-y^2-z^2)^{3/2}}=\frac{xz}{(1-r^2)^{3/2}}$$

Die Gradienten der Komponentenfunktion \(f_2\) und \(f_3\) werden analog gebildet.

Damit erhalten wir als Jacobi-Matrix:$$J(x;y;z)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}f_1\\\operatorname{grad}f_2\\\operatorname{grad}f_3\end{pmatrix}=\frac{1}{(1-r^2)^{3/2}}\left(\begin{array}{ccc}1-y^2-z^2 & xy & xz\\xy & 1-x^2-z^2 & yz\\xz & yz & 1-x^2-y^2\end{array}\right)$$

Answer 2

Hallo

r= steht ja da, (x,y,z)^T ist der Spaltenvektor \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

Gruß lul

Comments

Und was ist die wurzel aus x^2 + y^2 + z^2?

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Kann mir jemand bitte helfen. Ich komme nicht weiter :( :(

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die Frage "Und was ist die wurzel aus x^2 + y^2 + z^2"  ist unverständlich  denn ein Wurzelzeichen darüber zu schreiben meinst du wohl nicht? aber die wurzel kommt in der def, von f ja gar nicht vor.

die Partiellen Ableitungen  von f sind doch nicht so schwer, Und wie die jakobimatrix aussieht weisst du hoffentlich oder siehst es in deinem Skript oder wiki nach. du muss schon sagen, was du gemacht hast und wo du nicht Weiterkommst.

für einen Anfang:  f1(x,y,z)=x/√ (1-x^2-y^2-z^2), f1_x=(1-y^2-z^2)/(√ (1-x^2-y^2-z^2))

so jetzt du die anderen

Gruß lul