Richtungsableitung richtig anwenden

Question

Aufgabe:

Die Temperaturverteilung in Ihrer Wohnung sei durch
\( T(x, y, z)=\exp \left(-x^{2}-2 y^{2}-3 z^{2}\right) \quad \text { für } x, y \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{R}_{\geq 0} \)
gegeben. Sie sitzen an Ihrem Schreibtisch im Punkt \( (1,1,1) \). Ihnen ist warm. In welche Richtung sollten Sie gehen, um sich möglichst schnell abzukühlen? Berechnen Sie hierzu auch die zugehörige Richtungsableitung. Können Sie sich auch in anderen Richtungen (abgesehen vom Kühlschrank) Abkühlung verschaffen?

Problem/Ansatz:

Hey, kann mir jemand bei diesen Problem etwas weiterhelfen? Ich versteh sie einfach nicht.

Answer 1

Aloha :)

In differentieller Näherung gilt für die Funktion \(T(x;y;z)\):$$T(1+dx;1+dy;1+dz)=T(1;1;1)+\operatorname{grad} T(1;1;1)\cdot d\vec r\quad;\quad d\vec r=(dx;dy;dz)^T$$

Wenn du nun \(d\vec r\) in eine Richtung legst, in der sich \(T\) nicht ändert, muss \(\operatorname{grad }T(1;1;1)\) senkrecht auf \(d\vec r\) stehen, damit das Skalarprodukt verschwindet.

Wenn du \(d\vec r\) in eine Richtung legst, in der \(T\) am schnellsten wächst, muss \(\operatorname{grad }T(1;1;1)\) parallel zu \(d\vec r\) stehen, damit das Skalarprodukt seinen maximalen Wert annimmt.

Wenn du \(d\vec r\) in eine Richtung legst, in der \(T\) am schnellsten schrumpft, muss \(\operatorname{grad }T(1;1;1)\) anti-parallel zu \(d\vec r\) stehen, damit das Skalarprodukt seinen minimalen Wert annimmt.

Übertragen auf die Aufgaben-Situation heißt das, die Richtung der schnellsten Abkühlung ist die des negativen Gradienten an der Stelle \((1;1;1)\).

$$\vec v=-\operatorname{grad}T(1;1;1)=-\left[e^{-x^2-2y^2-3z^2}\begin{pmatrix}-2x\\-4y\\-6z\end{pmatrix}\right]_{(1;1;1)}=\frac{2}{e^6}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$Vemutlich musst du die Richtung normiert angeben, also:$$\vec v^0=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$

Answer 2

Für die Richtungsableitung in Richtung eines beliebigen Vektors \( v \in \mathbb{R}^{3} \) an einem Punkt \( x \) gilt
\( \nabla_{v} f(x)=\langle\nabla f(x), v\rangle=\|\nabla f(x)\|_{2}\|v\|_{2} \cos (\theta) \)
wobei \( \theta \) der Winkel zwischen \( \nabla f(x) \) und \( v \) ist. Diesen Ausdruck wollen wir minimieren, also \( \cos (\theta)=-1 \Longrightarrow \theta=\pi \). Insbesondere wählen wir also \( v \) so, dass es parallel zu \( \nabla f(x) \) ist und in entgegengesetzte Richtung zeigt ( \( \pi \) entspricht einer Rotation um \( 180\; \mathrm{ Grad}) \). Es ergibt sich also
\( v=-\nabla f(1,1,1)=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right] \)