Berechnung einer Ellipsenfläche durch Integration einer komplexen Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnung einer Ellipsenfläche durch Integration einer komplexen Funktion

Problem/Ansatz:

Ellipse gegeben: a=5, b=8   Fläche A=a*b*pi=125,6637   Umfang näherungsweise U=41,386

z₁=a+bi=5+8i   k=a/b=5/8   z₁=a*(1+i/k)

Integral z₁ da=a²/2*(1+i/k)=25/2+20i=a₂+b₂i=z₂     |z₂|=23,585    ß=arctan(b/a)=arctan(1,6)=1,012197

siehe auch: https://www.mathelounge.de/946955/herleitung-endgleichung-integration-komplexen-kreisflache#c947084

Ellipsengleichung: 1=y²/b₂²+x²/a₂²    y=(1-x²/a₂²)^(1/2)*b₂ , denn z₂ ergibt ja wieder eine Ellipse, nach Integration v. z₁

x₂=cos(ß)*a₂   daraus folgt: y₂=(1-cos²ß)^(1/2)*b₂    |z₂|=(x₂²+y₂²)^(1/2)

Kreis: A=|z₂|*pi/(cos(ß))  (richtig!!!!) , siehe weiter oben stehenden Link

bei einer Ellipse mit den Halbachsen a=3 und b=4 hatte ich A=|z₂|*pi*(cos(ß)+1) ermittelt......

daraus folgt und ich hoffe dieser Ansatz ist richtig: a*b*pi=A=|z₂|*pi*s   

s=a*b/(|z₂|)

s=a*b/(((1-cos²(ß))*b₂²+(cos(ß)*a₂)²))^(1/2)

ich erhalte: 40/(43,89+287,640)^(1/2)=s=2,196 und dies ist falsch....., denn

A=125,6637  A/(pi*|z₂|)=s=1,696 

Muß dazu sagen, daß diese Rechnung einzig und allein dem eventuellen Berechnen des genauen Ellipsenumfanges dienen sollte......, nachfolgend.....

ich weiß nicht wo der Fehler steckt...., bitte um Durchsicht, Dankeschön, Bert Wichmann!

Comments

für einen Kreis habe ich die obige Gleichung für s (fast....) bestätigt:

r=3   A=28,27433=pi*r²

4,5+4,5*i=z₂   |z|=6,364    ß=0,785

s=a*b/b₂=9/4,5=2

A=s₁*|z₂|*pi     s₁=s^1/2=2^1/2=1,4142

die Ellipsenfläche werde ich auch noch berechnen, dies dürfte nun nicht mehr schwer sein, die Abhängigkeit der unterschiedlich großen Halbachsen zueinander muß da in die Rechnung mit eingebracht werden.....

Viele Grüße, Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo

ich durch schaue leider nicht was du machst, da steht öfter mal Integral und dann ein Ausdruck. Kannst du sagen, was genau du da integrierst in der Form

\( \int\limits_{x1}^{x2} f(z) dz\) natürlich auch statt x und z und f andere Bezeichnungen.

soweit ich das verstanden habe steht da \( \int\limits {}a*(1+i/k)da \) aber wie kann man über eine Konstante a=5 integrieren? die Achse einer Ellipse ändert sich nicht?

Auf jeden Fall ist z1=5+8i eine Zahl und hat mit der Ellipse x^2/25+y^2/64=1 nicht zu tun. im Komplexen kann man eine Ellipse mit den Brennpunkten (-e,0) und (+e,0) beschreiben als

|z+e|+|z-e|=c mit c=2a  und e^2=a^2-b^2

du erwähnst dass du eigentlich planst den Umfang zu bbrtrchnm das führt auf jeden Fall zu integralen, die man nur numerisch lösen kann,

Gruß lul

Comments

Integral von 0 bis 5 (a(1+i/k)) da=a²/2(1+i/k) und dann die Grenzen einsetzen, k=5/8, 5 ist die kleine Halbachse, 8 ist die große Halbachse

macht nix, wenn Du mich nicht verstehst, werde mich damit noch etwas beschäftigen....

einen schönen Abend, Bert Wichmann!

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Hallo

ich versuche es noch einmal, die Menge a*(1+i*8/5) für a = 0 bis 5 ist die grüne Strecke im der komplexen Ebene, das Integral über a vom 0 bis 5 ist dann die  braune Fläche des Dreiecks darunter, die deine Formel auch richtig bestimmt. Allerdings hat die wirklich nichts mit einer Ellipse zu tun-

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morgen, ich habe heute zu viel Bier getrunken....

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nach der Integration bilde ich doch |z₂| und rechne damit weiter, eine Ellipse bzw. einen Kreis, die Gleichung der noch zu ermittelnden Ellipsenfläche gilt damit auch für den Kreis......! Bert Wichmann!

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....und dann kommt die Überprüfung mit einer normalen Kreisfläche (........s)!

deren Wurzel wiederum liefert einen Faktor.....

auch die Einheiten stimmen so (.....zb. m²,mm²)

Es spricht viel dafür, daß ich die komplexe Fläche richtig ermittelt habe, habe Sie ja mit einer regulären Fläche verglichen....., siehe oben "s"! Bert Wichmann!

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ich setze die Ellipsengleichung in |z₂| ein.....!!!!!!!!