Ableitungen einer Kurvenschar

Question

Aufgabe:

geg.: fa(x)=x/a*e^(ax)

ges.: Ableitung fa' fa'' fa'''

Problem/Ansatz:

Wie leitet man diese kurvenschar ab?

Danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Hier hat die Produktregel einen großen Auftritt:

$$f_a(x)=\underbrace{\frac xa}_{=u}\cdot\underbrace{e^{ax}}_{=v}$$$$f'_a(x)=\underbrace{\frac 1a}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{ax}}_{=v}+\underbrace{\frac xa}_{=u}\cdot\underbrace{a\,e^{ax}}_{=v'}=\frac1a\cdot e^{ax}+x\cdot e^{ax}=\underbrace{\left(\frac1a+x\right)}_{=U}\cdot \underbrace{e^{ax}}_{=V}$$$$f''_a(x)=\underbrace{1}_{=U'}\cdot \underbrace{e^{ax}}_{=V}+\underbrace{\left(\frac1a+x\right)}_{=U}\cdot \underbrace{a\,e^{ax}}_{=V'}=e^{ax}+(1+ax)\cdot e^{ax}=\underbrace{(2+ax)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{ax}}_{=v}$$$$f'''_a(x)=\underbrace{a}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{ax}}_{=v}+\underbrace{(2+ax)}_{=u}\cdot \underbrace{a\,e^{ax}}_{=v'}=a\,e^{ax}+(2a+a^2x)\,e^{ax}=(3a+a^2x)\cdot e^{ax}$$

Answer 2

\(f(x)=\frac{x}{a*e^{a·x}}\)

\(f´(x)= \frac{1*a*e^{a·x}-x*a*e^{a·x}*a}{(a*e^{a·x})^2} \)

\(f´(x)= \frac{1*a*e^{a·x}-x*a^2*e^{a·x}}{(a*e^{a·x})^2} \)

\(f´(x)= \frac{1-x*a}{a*e^{a·x}} \)

Comments

Die Aufgabe war anders gemeint. fa(x)=(x/a)*e^(ax)

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Dann eben nicht Quotientenregel, sondern Produktregel.

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e^(ax)*(1/a+x/a+a) kann das passen?

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Nein, in der Klammer sollten nicht 3 Summanden auftauchen.

Schreibe mal deinen Zwischenschritt, BEVOR du e^(ax) ausgeklammert hast.

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Jetzt ist es noch einfacher:

Du hast jetzt ein Produkt:

u=x/a  → u´=1/a

v=e^(ax) → v´=a*e^(ax)

Nun mit der Produktregel zusammensetzen:

f´(x)=(1/a)*e^(ax)+(x/a)*a*e^(ax)

f´(x)=(1/a)*e^(ax)+x*e^(ax)=e^(ax)*(1/a+x)