Berechnen Sie, für welchen Wert von a der extremalpunkte von fa 2 Längeneinheiten vom Ursprung entfernt ist

Question

Aufgabe:

fa(x)=(x/a) * e^(ax)

a) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der extremalpunkte von fa 2 Längeneinheiten vom Ursprung entfernt ist

b) der graph von f1 soll durch eine quadratische Parabel approximiert werden, die durch die Nullstellen & Extremalpunkte von f1 verläuft. Bestimmen Sie die gleichung der näherungsparabel und berechnen Sie die Maximal Abweichung für - 1<x<0

Problem/Ansatz:

Für die Nullstelle hab ich (0|0) und das Extrema ist bei (-1/a | - 1/(a^2*e)

Doch wie geht man bei den beiden Aufgaben vor?

Danke im voraus

Answer 1

Der Extremwert in Abhängigkeit von \( a \) stimmt soweit. Der Punkt hat dann einen Abstand vom Ursprung, wenn gilt

$$ \sqrt{ \left( -\frac{1}{a} \right)^2 + \left( -\frac{1}{a^2 e} \right)^2 } = \frac{ \sqrt{ a^2 +e^{-2} } }{ a^2 } = 2 $$

Die Gleichung nach \( a \) auflösen, ergibt 4 Lösungen für \( a \). Zwei sind imaginär und eine negativ, die können entfallen Alsi bleibt nur noch eine Möglichkeit über und die ergibt \( a = 0.589 \)

Comments

Gibt es eine spezielle Formel, woher man diese wurzelgleichung kriegt?

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Und wie würde das über dne pythagoras gehen?

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Der Abstand eines Punktes \( (x|y) \) vom Ursprung ist nach Pythagoras $$ \sqrt{x^2 + y^2} $$ Mach Dir das mal an Hand einer Zeichnung im Koordinatensystem klar.

In Deinem speziellen Fall ist \( x = -\frac{1}{a} \) und \( y = -\frac{1}{a^2 e} \) Diese Werte in die Abstandsformel eingesetzt ergibt die vorher genannte Lösung.

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Ahhh, stimmt. Vielen Dank!

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Die wurzelgleichung hab ich jetzt, aber wie löse ich die auf?

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Und approximation ist quasi dann eine rekonstruktion oder?

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Die Lösung der Wurzelgleichung hat ja MonthyPython, s.u. gelöst.

Bzgl. Approximation ist folgendes gemeint. Finde eine Parabel \( ax^2 + bx + c \) die durch die Nullstelle der Funktion \( f_a(x) \) geht und durch die Extremalpunkte. Das sind drei Bedingungen aus denen Du \( a, b, c\) berechnen kannst.

Die Nullstelle hast Du ja schon bestimmt, sie liegt bei \( (0|0) \) und den Extremwert hast Du ja auch schon. Hier musst Du nur noch \( a = 1 \) setzen.

Zusätzlich gilt auch noch, dass an der Extremalstelle die erste Ableitung Null ist. Das sind die drei Bedingungen aus denen Du \( a, b, c\) errechnen kannst.

Answer 2

a) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der extremalpunkte von fa 2 Längeneinheiten vom Ursprung entfernt ist

Wo der Extrempunkt liegt habe ich bereits beantwortet. Weißt du das du den Abstand mit dem Pythagoras berechnen kannst. Und wenn du mal den Abstand = 2 setzt und das nach a auflöst, was kommt dabei heraus?

Näherungsweise komme ich auf a = 0.5894

Comments

b) der graph von f1 soll durch eine quadratische Parabel approximiert werden, die durch die Nullstellen & Extremalpunkte von f1 verläuft.

Stell doch mal den Funktionsterm der Parabel auf.

Ich würde davon ausgehen, dass der Extrempunkt der Funktion auch der Extrempunkt der Parabel ist.

Das steht zwar so nicht in der Aufgabe. Es wird für das Schulniveau aber zu schwer, wenn du kompliziertere Bedingungen nimmst. Ggf. kann man auch bei Lehrer nachfragen.

Answer 3

zu a)

Ich quadriere die Wurzelgleichung.

1/a² + 1/(a²•e)² = 4

1/a² + 1/(a^4•e²) = 4     |•a^4

a² + 1/e² = 4 a^4

a^4 -¼a² -1/(4e²) = 0

\( a^2={\frac{1}{8}\pm\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{1}{4 e^{2}}}} \)

...

\(a=\pm \sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{1}{4 e^{2}}}} \)

\(a\approx\pm 0.5894 \)

zu b)

Falls die Ortskurve der Extrema gesucht ist:

g(x) = -x²/e

Falls das Minimum von f der Scheitelpunkt der Parabel p sein soll:

Scheitelpunktform

p(x) = b(x+1/a)² - 1/(a²e)

p(0)=0=b/a² -1/(a²e) → b=1/e

p(x)=1/e • (x + 1/a)² - 1/(a²e)

Ausmultipliziert:

p(x) = x²/e +2x/(ae)

Violett f(x) für a=0,3

Grün p(x) für a=0,3

Comments

Ich habe p(x)=(-x^2)/e

Würde das auch gehen?

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Und jemand anderes hat (x^2)/e+2x/e

Jetzt bin ich verwirrt

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Ich habe p(x)=(-x^2)/e

Würde das auch gehen?

Das wäre eine nach UNTEN geöffnete Parabel, die im Ursprung den Scheitelpunkt (und das auch noch als HOCHPUNKT) hat.

Also: Nein, das würde nicht gehen.

Und: Was "jemand anderes hat"  hätte die Nullstellen 0 und -2 und den Tiefpunkt bei -1.

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Ich habe p(x)=(-x²)/e

Das ist die Ortskurve der Extrema.

Und jemand anderes hat (x²)/e+2x/e

Das ist meine Lösung für a=1.

Beides steht in meiner Antwort.

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Jetzt habe ich es. Aber ich bekomme auch (x^2)/e+2x/e heraus und nicht (x^2)/e+2x/(ae)

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Ja, vielen Dank :)

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(x^2)/e+2x/e heraus und nicht (x^2)/e+2x/(ae)

Dann hast du vorher schon a=1 gesetzt.

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Und wie ist das jetzt mit der maximalabweichung?

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Maximalabweichung wäre dann d(x)=g(x) - f(x) dann d'(x)=0 oder

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Das sehe ich auch so.