Mathematischer Style Polynomdivision oder Faktorisierung

Question

Hallo Leute,

das ist eher eine ungewöhnliche Frage. Wie ihr wisst, gibt es mehrere Möglichkeiten beziehungsweise ich nenne das mathematischer Style, um ein Problem zu lösen. Ich habe hier eine Beispielaufgabe, wo ich das besser veranschaulichen möchte :

$$-x^3+5 x^2-8 x+4$$ $$-x^3+x^2+4 x^2-4 x-4 x+4$$ $$-x^2 \times(x-1)+4 x \times(x-1)-4(x-1)$$ $$-(x-1) \times\left(x^2-4 x+4\right)$$ $$-(x-1) \times(x-2)^2$$

Wenn man jetzt die Nullstellen davon berechnen wollen würde, da wäre das mit dieser Methode deutlich einfacher, anstatt dies mit der Polynomdivision zu machen. Aber ich habe keine Ahnung, wie man die Methode nennt. Es ist eine Art der Faktorisierung, aber das Internet liefert mir keine zufriedenstellende Antwort. Ich würde gerne lernen, wie das funktioniert und ob es bei anderen Polynomgleichungen auch funktioniert.

Comments

Das ist Polynomdivision, nur grafisch anders notiert.

Answer 1

Das Verfahren nennt sich Faktorisieren über geschickte Aufteilung/Ergänzung und Ausklammern.

Ob das jetzt wesentlich einfacher ist als z.B. die Polynomdivision oder das alternative Horner Schema. Gerade die Suche nach einer geschickten Aufteilung/Ergänzung fällt, den meisten ja nicht einfach so in den Schoss.

- x^3 + 5·x^2 - 8·x + 4 = - (x^3 - 5·x^2 + 8·x - 4) = 0

ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler der 4 sein. Da kommen nicht so viele Zahlen in Frage und mit 1 und 2 ist man schon dabei.

(x^3 - 5·x^2 + 8·x - 4) / (x - 1) = x^2 - 4·x + 4 = (x - 2)^2

Dann wäre man jetzt auch schon mit der Faktorisierung über die Polynomdivision durch

- x^3 + 5·x^2 - 8·x + 4 = - (x - 1)·(x - 2)^2

Comments

>ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler der 3 sein. Da kommen nicht so viele Zahlen in Frage und mit 1 und 2 ist man schon dabei.< ?

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>ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler der 3 sein. Da kommen nicht so viele Zahlen in Frage und mit 1 und 2 ist man schon dabei.< ?

Das sollte natürlich 4 statt 3 lauten. Danke für den Hinweis.