Additionstheorem von Binomialkoeffizienten

Question

Wie kann ich den Binomialkoeffizienten in eine Summe von 2 Binomialkoeff. umschreiben: \( \begin{pmatrix} n+k \\ k-1 \end{pmatrix} \)

Comments

Ein bisschen mehr Kontext wäre gut; denn so weiß man

gar nicht, in welche Richtung die Zerlegung gehen soll.

Die Originalaufgabenstellung wäre hilfreich !

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Vielen Dank an alle für die hilfreichen Tipps!

Zur genauen Aufgabe: Ich soll die Identität \( \frac{1}{(1-X)^{n+1}} \)=\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k\end{pmatrix}} \)X^k für alle n∈ℕ₀ in ℂ[[X]] zeigen.

Ich habs mit Induktion versucht. IA…IV… und dann der Induktionsschritt: \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k+1\\k\end{pmatrix}} \)X^k = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k-1\end{pmatrix}} \)\( \begin{pmatrix} n+k\\k \end{pmatrix} \) X^k =… =  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k-1\end{pmatrix}} \)X^k + \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k \end{pmatrix}} \)X^k

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k \end{pmatrix}} \)X^k ist ja nach IV  \( \frac{1}{(1-X)^{n+1}} \).

Und ich habe versucht   \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k\\k-1\end{pmatrix}} \)X^k zu vereinfachen, indem ich \( \begin{pmatrix} n+k\\k-1 \end{pmatrix} \) geschickt umschreibe…

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Habe meine Antwort geändert.

Answer 1

Ich würde die Originalaufgabe ganz anders angehen:

Im Potenzreihenring gilt$$\frac{1}{1-X}=\sum_{k=0}^{\infty}X^k$$Nun differenziere beide Seiten \(n\)-mal, dann steht die

Behauptung fast da:

Die n-te Ableitung der linken Seite ist$$\frac{n!}{(1-X)^{n+1}}$$Die (gliedweise) n-te Ableitung der rechten Seite ist$$\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)\cdots (k+n)X^k$$Nun bedenke$$(k+1)(k+2)\cdots(k+n)/(n!)=(n+k)!/(k!n!)={{n+k}\choose {k}}$$

Answer 2

Das Problem ist dort gibt es ja nicht nur eine Möglichkeit sondern eigentlich unendlich viele.

(n + k über k - 1) = (n + k über n + 1) = (n + k - 1 über n) + (n + k - 1 über n + 1)

Weißt du, worauf das Ganze hinauslaufen soll?

Comments

sondern eigentlich unendlich viele.

Das wollte ich eigentlich schon als falsch erklären, aber du hast recht.

Jeder beliebige Binomialkoeffizient hat irgendeinen Wert a,

und natürliche Zahlen a lassen sich in der Regel darstellen als

\( \begin{pmatrix} a-1 \\ 1 \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix}b\\ 0 \end{pmatrix} =(a-1)+1\), wobei es für b unendlich viele Möglichkeiten gibt.

Ich unterstelle aber mal, dass du DARAN nicht gedacht hast.

Ansonsten gibt es nur ENDLICH viele Möglichkeiten, eine Zahl in einer konkreten Zeile des Pascalschen Dreieck als Summe in Zeilen darüber stehender Zahlen dieses Dreiecks darzustellen.

Answer 3

Du kennst die Bildungsvorschrift einer Zahl im Pascalschen Dreieck als Summe der beiden darüberstehenden Zahlen?