Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Ebene E durch den Ursprung, welche zu {G} und {H} parallel ist.

Question

Text erkannt:

Im Anschauungsraum \( \mathbb{R}^{3} \) sind die zwei Geraden \( G=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), H=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)
gegeben. Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Ebene E durch den ursprung, welche zu \( \mathrm{G} \) und \( \mathrm{H} \) parallel ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Die Ebene E ist ja gegeben durch: $p+ \mathbb{R}u+\mathbb{R}v=0$, wobei p=0 ist

Der Normalenvektor $u \times v=n$ muss orthogonal zu den Richtungsvektoren der Geraden G und H stehen

also $n \cdot g=0$ und $n \cdot h=0$

(h ist der RIchtungsvektor von H und g der RIchtungsvektor von G)
Aber mein Ergebnis lautet dann $2n_1+2n_2=0$

und das stimmt nicht mit der Lösung überein
Was habe ich falsch gemacht?

oder ist mein Ansatz schon falsch? Aber anders kann ich es mir nicht vorstellen

Answer 1

Parameterform

E: X = [0, 0, 0] + r·[3, 1, -1] + s·[-1, 1, 1]

Koordinatenform

[3, 1, -1] ⨯ [-1, 1, 1] = [2, -2, 4] = 2·[1, -1, 2]

E: x - y + 2·z = 0

Comments

Wie kommt man auf r und s?

---

Das sind die Parameter (reelle Zahlen) einer Ebenengleichung.

Du kannst dafür auch andere Buchstaben nehmen. In der Geradengleichung habt ihr offensichtlich ℝ benutzt.

---

Ja aber wie kommt man jetzt auf r und s? Wie man auf den Ortsvektor kommt verstehe ich.

Aber was ich auch noch nicht so ganz verstehe ist:

Die Ebene E soll ja sowohl parallel zur Geraden G und zur Geraden H sein
und die Geraden sind nicht paralell

---

Also irgendwas kann da noch nicht so ganz stimmen

---

Ja aber wie kommt man jetzt auf r und s? Wie man auf den Ortsvektor kommt verstehe ich.

r und s sind beliebige reelle Zahlen und keine feste Zahl. Wie gesagt könntest du auch andere Buchstaben wählen. Schau dir an wie Ihr eine Ebene definiert habt.

Die Ebene E soll ja sowohl parallel zur Geraden G und zur Geraden H sein und die Geraden sind nicht paralell

Deswegen enthält sie Gerade ja auch die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

---

Dein Bild scheint nicht zu stimmen

https://www.geogebra.org/classic/mtmj7tff

Du hast eine Gerade durch 2 Punkte definiert und nicht mit einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Das siehst du daran was Geogebra daraus macht

---

Die Bedienung von Geogebra bei 3D ist so schwer

Text erkannt:

Befehl Gerade:
Unzulässige Anzahl von Argumenten: 3
Schreibweise:
HILFE
Gerade( <Punkt>, <Punkt> )
Gerade( \( \langle \) Punkt \( \rangle \), <Parallele Gerade>)
Gerade( \( \langle \) Punkt>, <Richtungsvektor>)

Könntest du mir bitte sagen, wo jetzt der Fehler liegt?

---

Gib zunächst die Punkte und Vektoren ein.

Für die Gerade G zum Beispiel: A=(2,0,3) für den Punkt und r=(3,1,-1) für den Vektor. Mit Großbuchstaben werden bei Geogebra Punkte bezeichnet, mit Kleinbuchstaben Vektoren). Du kannst natürlich auch andere Buchstaben wählen.

Dann gib ein gerade(A,r).

---

Perfekt, danke dir Silvia

---

Warte, schneidet eine Gerade hier nicht die Ebene?

Text erkannt:

(i.)

---

s = (-1,1,1) und nicht (1,0,1)

---

stimmt, habe da einen Punkt mit diesem Richtungsvektor ausgerechnet

und damit ist die Aufgabe endlich gelöst ^^

Vielen Dank euch

---

stimmt, habe da einen Punkt mit diesem Richtungsvektor ausgerechnet und damit ist die Aufgabe endlich gelöst ^^

Kleiner Tipp: Verwende etwas öfter Geogebra. Dann gelingen dir solche Aufgaben demnächst im Schlaf und du hast auch eine Vorstellung wie das aussieht. Warum die Ebene z.B. parallel zu den beiden Geraden liegt.